"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Неравенство с одной переменной помогает найти все значения, при которых заданное сравнение верно. Такие решения записывают промежутками или их объединением, а затем используют при исследовании функций и решении систем. Главное — перед преобразованиями учесть, где выражения имеют смысл, правильно менять знак при умножении на отрицательное число и не включать в ответ точки, в которых выражение не определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с одной переменной — неравенство, содержащее переменную, истинность которого зависит от её значения. Например, в записи 2x + 1 > 5 результат сравнения меняется в зависимости от x. Такие записи нужны, чтобы описывать условия, которым должны удовлетворять числа.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным; множество всех таких значений называют множеством решений. Например, если подходят все числа больше 4, ответом будет не одно число, а промежуток (4; +∞). Это понятие позволяет точно указать все значения, подходящие под условие.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Их используют, чтобы заменить сложную запись более простой, не изменив ответ. Поэтому после преобразования важно понимать, сохраняется ли множество решений.
Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых выражения в неравенстве имеют смысл. Например, в дроби 1/(x − 2) запрещено x = 2, поскольку на ноль делить нельзя. ОДЗ помогает не включить в ответ значения, для которых исходная запись не определена.
Решение начинают с учёта области допустимых значений: проверяют знаменатели, выражения под корнями и другие части записи. Это нужно потому, что преобразования не должны возвращать в ответ значения, при которых исходное неравенство не имеет смысла. Ограничения удобно записать заранее и сверять с ними полученный ответ.
Затем неравенство упрощают равносильными преобразованиями. Если прибавить одно и то же выражение к обеим частям, разность между правой и левой частями не изменится, поэтому сохранится и знак сравнения. Умножение или деление на положительное число тоже не меняет порядок чисел: например, если 2 < 5, то 6 < 15.
При умножении или делении на отрицательное число порядок чисел меняется: из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому знак неравенства обязательно переворачивают. Если множитель зависит от переменной, нельзя заранее считать его положительным: сначала выясняют его знак и рассматривают соответствующие случаи.
В неравенстве с произведением или дробью находят значения, при которых множители обращаются в ноль, а также нули знаменателя. Эти точки делят числовую прямую на промежутки, внутри каждого из которых знак выражения не меняется. На каждом промежутке проверяют знак, а точки запрета исключают, поскольку выражение в них не определено.
В конце выбранные промежутки объединяют и записывают ответ в удобном виде. Нули числителя или множителей включают при нестрогих знаках ≤ и ≥, но не включают при строгих < и >. Полученный ответ проверяют по исходному неравенству и ранее найденной ОДЗ, чтобы исключить лишние значения.
| Ситуация | Приём | Что учесть |
|---|---|---|
| Прибавление выражения к обеим частям | Прибавить одно и то же выражение слева и справа | Знак неравенства сохраняется |
| Умножение или деление на положительное число | Умножить или разделить обе части | Знак неравенства сохраняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Умножить или разделить обе части | Заменить знак на противоположный |
| Произведение или дробь выражений | Найти нули и исследовать знаки на промежутках | Нули знаменателя исключить |
| Запись множества решений | Указать промежуток или объединение промежутков | Учесть строгий знак и ОДЗ |
Найдите в таблице ситуацию, которая соответствует вашему неравенству, и примените указанный приём. Перед умножением или делением обязательно определите знак числа или выражения. При записи ответа отдельно проверьте, какие граничные точки можно включить.
Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 > 7. Здесь переменная не находится в знаменателе, поэтому ограничений на x нет. Нужно изолировать слагаемое с переменной и затем разделить обе части на положительный коэффициент.
Ответ: (4; +∞). Открытая скобка показывает, что граничное значение не входит в множество решений. Любое число больше 4 удовлетворяет исходному неравенству.
Задача 2. Решить неравенство (x − 2)(x + 1) ≤ 0. Чтобы понять знак произведения, сначала найдём нули каждого множителя: x = 2 и x = −1. Они делят числовую прямую на три промежутка, где знак произведения постоянен.
Ответ: [−1; 2]. Квадратные скобки означают, что концы входят в решение. На всём этом отрезке произведение не больше нуля.
Задача 3. Решить неравенство (x − 3)/(x + 2) > 0. Сначала учтём, что знаменатель не должен равняться нулю: x ≠ −2. Нуль числителя x = 3 тоже станет границей промежутков, но из-за строгого знака это значение в ответ не войдёт.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Объединение показывает, что подходят два отдельных промежутка. Ни одна из граничных точек не входит в ответ.
Если при умножении или делении на отрицательное число оставить прежний знак, получится противоположное множество решений. Так происходит, когда правило вспоминают только как вычислительное действие и забывают о смене порядка чисел. Проверьте себя на примере 2 < 5: после умножения на −1 верно −2 > −5.
Умножение на выражение с неизвестным знаком без разбора случаев может сделать преобразование неравносильным. Обычно ошибку допускают, принимая выражение за положительное, хотя оно может быть отрицательным или нулевым. Перед умножением найдите его нули и выясните знак на нужных промежутках.
В дробном неравенстве иногда включают в ответ нули знаменателя. Причина ошибки — смешение нулей числителя, где дробь может быть равна нулю, и нулей знаменателя, где она вообще не определена. Сверьте ответ с ОДЗ: каждое значение, обнуляющее знаменатель, нужно исключить.
Неверно выбранные открытые или закрытые концы меняют ответ: нуль числителя включают при нестрогом знаке, а точку запрета не включают никогда. Ошибка возникает, если ориентироваться только на схему знаков и не смотреть на исходный символ неравенства. Проверьте каждую границу отдельно: подставьте её, если выражение определено, и сравните результат с требуемым знаком.
Для решения неравенств полезны навыки решения линейных и квадратных уравнений: именно так находят граничные значения и нули выражений. Понимание числовой прямой и сравнения чисел помогает определить знаки на промежутках и правильно записать ответ. Решения неравенств затем используют при исследовании функций, нахождении области определения и решении систем неравенств.
Что считается решением неравенства?
Решением считается любое значение переменной, при котором неравенство становится верным. Все такие значения вместе образуют множество решений, которое обычно записывают промежутком или объединением промежутков.
Когда при преобразовании нужно менять знак неравенства?
Знак меняют при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Если знак множителя зависит от переменной, сначала нужно рассмотреть случаи, когда множитель положителен, отрицателен или равен нулю.
Можно ли умножать неравенство на выражение с переменной?
Можно, только если известен знак этого выражения. Если он неизвестен, умножение может изменить направление неравенства, поэтому нужно разбить решение на случаи или выбрать другой способ.
Почему нули знаменателя нельзя включать в ответ?
При нуле знаменателя дробь не определена, поэтому исходное неравенство в этой точке не имеет смысла. Такая точка исключается из ответа независимо от знака неравенства.
Как понять, включать ли граничные точки в промежуток?
Нули числителя включают, если неравенство нестрогое: ≤ или ≥, и исключают при строгом знаке: < или >. Точки, запрещённые областью допустимых значений, не включают никогда.
§ 57. Решение неравенств с одной переменной
