"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Уравнение или неравенство с двумя переменными описывает связь между двумя числами, например координатами точки. Поэтому ответом служит не одно число, а упорядоченная пара: первое значение относится к x, второе — к y. Уравнение обычно задаёт на координатной плоскости линию или другое множество точек, а неравенство — область. Умение проверять пары и изображать множество решений помогает решать системы графически и видеть, какие точки удовлетворяют условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — это равенство, в котором есть две переменные, например x и y. Его смысл состоит в том, что значения переменных должны быть связаны указанным равенством. Поэтому при решении ищут не одно число, а подходящие значения сразу для обеих переменных.
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел, при подстановке которой уравнение становится верным. Пару записывают, например, так: (2; 1), где первое число соответствует x, а второе — y. Такой порядок позволяет однозначно проверить, какие значения подставлять.
Неравенство с двумя переменными — это неравенство, содержащее две переменные. Например, в записи y > 2x − 1 истинность зависит от того, какие числа выбраны для x и y. Одни пары удовлетворяют этому условию, другие — нет.
Решение неравенства с двумя переменными — упорядоченная пара чисел, при подстановке которой неравенство становится верным. Например, пара может подойти для условия y > 2x − 1, если её координаты дают истинное сравнение. Это определение нужно, чтобы отличать подходящие точки от тех, которые не входят в искомое множество.
Ответом служит пара, потому что в условии есть две переменные и нужно сообщить значение каждой из них. Одно число не определяет, что подставить вместо второй переменной, и поэтому не позволяет проверить условие полностью. Запись (a; b) фиксирует порядок: a относится к x, b — к y. Если переставить числа, получится уже другая пара и результат проверки может измениться.
Проверка пары всегда начинается с подстановки обеих координат на соответствующие места. Например, в x + 2y = 4 для пары (2; 1) вместо x ставят 2, а вместо y — 1. После вычисления сравнивают полученные значения: равенство верно только тогда, когда его левая и правая части равны. Для неравенства проверка такая же, но в конце выясняют, сохраняется ли нужный знак сравнения.
Уравнение с двумя переменными обычно имеет много решений, потому что равенство связывает значения, но не всегда задаёт единственную пару. Например, для y = x² можно взять любое x и вычислить соответствующее y. Каждой подходящей паре соответствует точка с координатами (x; y), поэтому все решения можно нанести на координатную плоскость. Совокупность таких точек образует график уравнения.
Неравенство обычно задаёт целую область плоскости: точек, удовлетворяющих условию, часто намного больше, чем точек на одной линии. Граничная линия возникает, если в неравенстве заменить знак на равенство; она разделяет плоскость на части, где условие может быть истинным или ложным. Чтобы выбрать нужную часть, подставляют координаты любой удобной точки, не лежащей на границе. Если точка удовлетворяет неравенству, выбирают область по эту сторону линии.
При строгом неравенстве < или > точки границы не подходят: на них вместо строгого сравнения получается равенство. Поэтому такую линию не включают в множество решений и обычно изображают пунктиром. При нестрогом знаке ≤ или ≥ граничные точки подходят, так как выполняют равенство на границе. Тогда линию включают в ответ и изображают сплошной.
| Характеристика | Уравнение | Неравенство |
|---|---|---|
| Что проверяют при подстановке пары | Верно ли равенство | Верно ли неравенство |
| Что считается решением | Пара, превращающая равенство в верное | Пара, превращающая неравенство в верное |
| Геометрическое изображение множества решений | Множество точек, часто линия или кривая | Обычно область плоскости |
| Роль граничной линии | Составляет множество решений, если точки линии удовлетворяют уравнению | Входит при ≤ и ≥, не входит при < и > |
| Пример записи множества решений | Все пары (x; y), для которых y = x² | Все пары (x; y), для которых y > 2x − 1 |
Используйте таблицу, чтобы сначала определить, что именно надо проверить после подстановки: равенство или знак неравенства. Затем выберите подходящее изображение множества решений. Для неравенства отдельно выясните, включается ли граница: это зависит от знака.
Задача 1. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения x + 2y = 4. Здесь первое число пары подставляется вместо x, второе — вместо y. Нужно вычислить левую часть и сравнить её с правой.
Ответ: пара (2; 1) является решением.
Задача 2. Найти и изобразить несколько решений уравнения y = x². Удобно выбрать несколько значений x, включая отрицательные, ноль и положительные числа. Для каждого выбора вычислим y, а затем отметим пары на плоскости.
Ответ: например, решения (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4); их множество изображается графиком y = x².
Задача 3. Изобразить множество решений неравенства y > 2x − 1 и проверить точку (1; 2). Сначала найдём границу, заменив строгий знак равенством, а затем определим нужную сторону прямой. Точку проверим отдельно подстановкой.
Ответ: множество решений — полуплоскость над прямой y = 2x − 1 без самой прямой; точка (1; 2) принадлежит этому множеству.
Иногда в ответ записывают только одно значение переменной, например x = 2, хотя для решения нужны значения и x, и y. Так происходит, когда забывают, что уравнение задаёт пару координат. Проверьте себя: можно ли по вашей записи однозначно выполнить подстановку обеих переменных? Если нет, укажите пару в порядке (x; y).
Другая ошибка — подставить только одну координату или поменять координаты местами. Это нарушает соответствие переменных и может дать неверный результат даже для подходящей пары. Перед вычислениями подпишите, какое число относится к x, а какое к y. Затем убедитесь, что в выражении заменены обе переменные.
При изображении неравенства можно выбрать полуплоскость наугад. Причина ошибки — предположение, что нужная область всегда находится сверху или снизу от линии, хотя это зависит от самого условия. Подставьте координаты точки, не лежащей на границе, например (0; 0), и выберите сторону, где условие верно. Если точка лежит на границе, для проверки возьмите другую.
Наконец, можно включить границу при строгом неравенстве или исключить её при нестрогом. Это происходит, если не обратить внимания на знак ≤, ≥, < или >. Для самопроверки подставьте координаты граничной точки: строгий знак при равенстве не выполняется, а нестрогий выполняется. Поэтому пунктир соответствует строгому знаку, сплошная линия — нестрогому.
Для работы с парами нужны координатная плоскость, координаты точки и умение строить графики простейших функций. График функции y = f(x) можно рассматривать как множество решений уравнения y = f(x): каждая его точка соответствует паре, удовлетворяющей уравнению. Эти знания пригодятся при решении систем уравнений и неравенств с двумя переменными. На графике общие решения системы — точки, которые удовлетворяют всем условиям одновременно.
Почему у уравнения с двумя переменными может быть бесконечно много решений?
Одно уравнение связывает две переменные, но часто не задаёт каждую из них однозначно. Можно выбирать одно значение, а другое подбирать так, чтобы равенство выполнялось; таких пар обычно бесконечно много. Например, уравнению y = x² подходят пары (0; 0), (1; 1), (−1; 1) и многие другие.
Как проверить, является ли данная пара решением?
Подставьте первую координату вместо x, а вторую — вместо y. Затем вычислите обе части и проверьте, получилось ли верное равенство или неравенство. Если условие не выполняется, пара не является решением.
Как по уравнению построить множество его решений?
Выберите несколько значений одной переменной и найдите соответствующие значения другой. Отметьте полученные пары как точки на координатной плоскости и посмотрите, какую линию или фигуру они образуют. Для точного построения используйте известный вид графика или преобразуйте уравнение к знакомому виду.
Как определить, какую область выбрать для неравенства?
Сначала замените знак неравенства на знак равенства и постройте граничную линию. Возьмите точку, не лежащую на границе, например (0; 0), и подставьте её координаты в исходное неравенство. Если оно верно, выбирайте полуплоскость с этой точкой, иначе — противоположную.
Когда граничная линия входит в множество решений?
Если в неравенстве стоит знак ≤ или ≥, точки границы удовлетворяют соответствующему равенству и входят в множество решений. При знаках < или > равенство на границе не выполняется, поэтому граничная линия исключается. На рисунке её обычно обозначают сплошной или пунктирной линией соответственно.
§ 58. Уравнения и неравенства с двумя переменными
