"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Система уравнений — это несколько условий для одних и тех же неизвестных: подходящие значения должны выполнять их все сразу. Такие системы помогают находить несколько неизвестных в задачах и описывать математические модели. Главное при решении — преобразовывать систему так, чтобы не потерять и не добавить решения. Для этого используют, в частности, подстановку и сложение уравнений, а найденные значения проверяют в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Обычно уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Система задаёт не одно отдельное условие, а несколько условий для одного набора значений. Поэтому её решение ищут с учётом всех уравнений сразу.
Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Для системы с неизвестными x и y таким набором часто служит пара чисел (x; y). Одна и та же пара должна подходить всем уравнениям, а не только одному из них. Это определение помогает отличать общий ответ системы от ответов отдельных уравнений.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их можно заменять друг другом при решении, потому что ни одна подходящая пара при такой замене не теряется и лишняя не появляется. Равносильность особенно важна при преобразованиях: она позволяет переходить к более простому виду, сохраняя ответ. Если обратимость перехода не очевидна, найденные значения проверяют в исходной системе.
Метод подстановки — способ решения, при котором из одного уравнения выражают неизвестную и подставляют её выражение в другое уравнение. В результате обычно остаётся уравнение с одной неизвестной, которое проще решить. Затем найденное значение используют, чтобы определить остальные неизвестные. Метод полезен, когда выражение получается простым и при этом учтены возможные ограничения.
Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению сразу, потому что система объединяет условия для одних и тех же неизвестных. Например, если пара подходит первому уравнению, но не подходит второму, то одно из условий остаётся невыполненным. Ответа системы в таком случае нет: найдено лишь решение одного уравнения. Поэтому проверяют не только отдельные значения, но и всю пару во всех уравнениях.
Чтобы упростить систему, её заменяют равносильной, то есть сохраняющей тот же набор решений. Надёжный путь — выполнить обратимое преобразование уравнений: например, прибавить к обеим частям равное выражение или умножить обе части на ненулевое число. Можно заменить уравнение его следствием, только если сохраняется и обратный вывод: из нового уравнения при учёте остальных условий должно следовать исходное. Если обратимость потеряна, часть решений может исчезнуть или появиться лишняя.
При подстановке из одного уравнения выражают одну неизвестную, например y, через другую, x. Затем вместо y в другом уравнении записывают полученное выражение и решают уравнение с одной неизвестной. После этого подставляют найденное значение обратно в выражение для y. Такой порядок работает, потому что исходная связь между x и y позволяет восстановить пару; если при выражении неизвестной пришлось делить на переменную выражение, отдельно учитывают случай, когда оно равно нулю.
Метод сложения устроен так: уравнения складывают или вычитают, чтобы коэффициенты при одной неизвестной уничтожили друг друга. Если коэффициенты не противоположны, уравнения предварительно умножают на подходящие числа, обязательно затрагивая каждое слагаемое и правую часть. После исключения одной неизвестной получают уравнение для другой. Способ особенно удобен, когда коэффициенты уже равны или легко приводятся к противоположным.
Полученное уравнение обычно даёт значение только одной неизвестной, тогда как решение системы — это полный набор значений. Поэтому после нахождения первой неизвестной её подставляют в исходное уравнение и восстанавливают остальные. Проверка в исходной системе нужна потому, что преобразование могло требовать дополнительных условий, например ненулевого знаменателя. Лишь подстановка пары во все исходные уравнения подтверждает, что найден ответ именно системы.
| Способ | Главное действие | Когда удобно применять | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить её выражение в другое уравнение | Когда неизвестную легко выразить, например её коэффициент равен 1 | Ограничения при выражении; подстановку найденной пары в исходную систему |
| Сложение | Преобразовать уравнения и сложить или вычесть их, чтобы исключить неизвестную | Когда коэффициенты при одной неизвестной равны или легко становятся противоположными | Что преобразовано всё уравнение, включая правую часть; исходные равенства для найденной пары |
| Проверка | Подставить найденную пару значений в каждое исходное уравнение | После любого способа решения системы | Получились ли верные равенства во всех уравнениях |
Сначала оцените, какой способ быстрее приведёт к одному уравнению с одной неизвестной. Если неизвестная легко выражается, выбирайте подстановку; если можно устранить её сложением, применяйте метод сложения. Какой бы способ вы ни выбрали, завершайте решение проверкой в исходной системе.
Задача 1. Решите систему: x + y = 7, y = 2x − 2. Здесь одно уравнение уже выражает y через x, поэтому естественно применить подстановку. Так мы сразу сведём систему к уравнению только с x, а затем вернёмся к поиску y. Выполним вычисления и проверим обе части ответа.
Ответ: (3; 4). Проверка подтверждает, что пара удовлетворяет обеим строкам системы, а не только уравнению, полученному после подстановки. Такой способ особенно короток, когда выражение одной неизвестной уже дано в условии. В других случаях сначала нужно аккуратно получить его из уравнения.
Задача 2. Решите систему: 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5. Коэффициенты при y противоположны, поэтому при сложении эта неизвестная исчезнет. Это позволяет найти x без предварительного выражения y. После этого подставим x в исходное уравнение и восстановим вторую координату.
Ответ: (3; 7/3). Дробное значение y не является ошибкой: важно, чтобы оно удовлетворяло обоим равенствам. При сложении уравнений правая часть тоже складывается, поэтому получили 13 + 5, а не только выражение из левых частей. Проверка исходных уравнений завершает решение.
Задача 3. Решите систему: x² + y² = 25, x + y = 7. Здесь нет неизвестной, которую сразу удобно выразить и подставить, зато второе уравнение задаёт сумму x и y. Возведём эту сумму в квадрат и используем первое уравнение, чтобы найти произведение xy. Затем найдём числа с такой суммой и произведением.
Ответ: (3; 4), (4; 3). Оба порядка нужно записать, так как условия не различают x и y: сумма квадратов и сумма координат остаются теми же. Подстановка каждой пары даёт 25 и 7 в левых частях исходной системы. В этом примере связь между выражением квадратов и квадратом суммы позволила получить произведение неизвестных.
Первая ошибка — считать решением пары, которая подходит только одному уравнению. Так происходит, когда после преобразований проверяют лишь последнее полученное равенство и забывают, что исходная система задаёт несколько условий. Для самопроверки подставьте оба значения во все исходные уравнения. Если хотя бы одно равенство неверно, пара не является решением системы.
При сложении или вычитании уравнений иногда меняют знак не у всего выражения или умножают на число лишь часть слагаемых. Причина часто в том, что ученик действует со строкой невнимательно и забывает о правой части. Проверяйте преобразование по частям: каждый член левой части и правую часть нужно умножить на одно и то же число, а при сложении — сложить соответствующие части. Можно отдельно проверить, что коэффициенты при исключаемой неизвестной действительно сократились.
Выражая неизвестную, легко забыть ограничение, например поделить на выражение, которое может равняться нулю. Деление на ноль недопустимо, а исключение нулевого случая может привести к потере решений. Перед делением выясните, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, и рассмотрите этот случай отдельно. После решения также проверьте, что найденные значения не нарушают ограничений.
Ещё одна ошибка — не подставлять результат в исходную систему. Некоторые преобразования не являются обратимыми без дополнительных условий: они могут добавить посторонние значения или исключить допустимые. Проверка обнаруживает неверные ответы, но сама по себе не исправляет потерю решения, поэтому ограничения нужно учитывать при преобразованиях. Надёжная привычка — записать найденную пару и проверить каждое исходное уравнение.
Для решения систем нужны навыки, изученные раньше: решение линейных и квадратных уравнений, преобразование выражений и подстановка значений. Без них трудно свести систему к более простому уравнению и восстановить все неизвестные. Умение работать с системами помогает решать задачи, в которых требуется найти несколько связанных величин. Оно также пригодится при изучении функций и построении математических моделей, описывающих реальные ситуации.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Решение одного уравнения — значение неизвестной или набор значений, при котором верно это уравнение. Решение системы должно одновременно удовлетворять каждому уравнению, поэтому ответы для отдельных уравнений сами по себе ещё не являются ответом системы.
Когда удобнее применять метод подстановки?
Подстановка удобна, если в одном уравнении неизвестная уже выражена или её легко выразить, например коэффициент при ней равен 1. Тогда выражение подставляют в другое уравнение и получают уравнение с одной неизвестной.
Как выбрать уравнения для сложения?
Ищите неизвестную, коэффициенты при которой можно сделать противоположными. Если коэффициенты пока не противоположны, умножьте целые уравнения на подходящие числа, а затем сложите их.
Почему при преобразованиях системы важно следить за равносильностью?
При преобразовании можно случайно потерять решение или получить лишнее. Равносильные системы имеют одно и то же множество решений, поэтому переходы между ними сохраняют все возможные ответы.
Как проверить, что найденная пара является решением системы?
Подставьте значения обеих неизвестных в каждое исходное уравнение. Если во всех уравнениях получились верные равенства, пара является решением системы.
§ 59. Системы уравнений
