"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Система уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными: найти нужно такие значения, которые подходят каждому уравнению одновременно. Системы помогают решать задачи, где условия связаны между собой, например находить стороны фигуры или сопоставлять две величины. Для решения используют подстановку, сложение и графический способ. Выбор зависит от вида уравнений, а проверка в исходной системе защищает от посторонних ответов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, запись с фигурной скобкой объединяет условия для одних и тех же x и y. Понятие системы нужно, когда одного условия недостаточно и ответ должен учитывать их все.
Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Для двух неизвестных обычно записывают пару (x; y), а не отдельное значение одной переменной. Это определение помогает сразу проверять, подходит ли найденный ответ всем условиям.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их можно заменять друг другом при решении, если преобразование не меняет ни одного допустимого ответа. Равносильность нужна, чтобы переходить к более простым уравнениям и быть уверенным, что решения не потерялись.
Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Недостаточно получить только один подходящий набор, если могут существовать и другие. Поэтому в конце важно убедиться, что учтены все варианты.
Множество решений отдельного уравнения — все наборы значений, при которых это уравнение верно. Система требует, чтобы выбранный набор принадлежал множеству решений каждого входящего уравнения, поэтому ответом становится их общая часть. Отсюда следует, что проверять нужно все уравнения, а не только то, с которого начали. Если общей части нет, система решений не имеет.
При подстановке одно уравнение используют, чтобы выразить одну неизвестную через другую. Это удобно, потому что после замены система сводится к уравнению с одной неизвестной, которое обычно проще решить. Затем найденное значение подставляют обратно, чтобы восстановить вторую неизвестную. Такая обратная подстановка обязательна: одно число ещё не задаёт решение системы с двумя неизвестными.
При сложении или вычитании уравнений выбирают множители так, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными. Тогда при сложении эта неизвестная исчезает, поскольку сумма противоположных коэффициентов равна нулю. Получив одно уравнение с одной неизвестной, находят её значение, а затем подставляют в исходное уравнение для восстановления исключённой переменной. Умножать нужно обе части уравнения на одно и то же число, иначе равенство изменится.
Графически каждое уравнение задаёт линию или кривую на координатной плоскости. Точка пересечения принадлежит обоим графикам, поэтому её координаты удовлетворяют обоим уравнениям сразу. Если графики не пересекаются, решений нет; если имеют несколько общих точек, система имеет несколько решений. Рисунок помогает увидеть число решений и оценить их, но точные координаты пересечения не всегда удаётся определить по графику.
Допустимы преобразования, которые сохраняют множество решений: например, можно прибавить к обеим частям равенства одно и то же выражение. Некоторые действия могут добавить посторонние значения или потерять допустимые, поэтому переход после них не всегда равносилен исходному. Так бывает, например, при возведении уравнения в квадрат. В таких случаях каждую найденную пару подставляют в исходную систему, чтобы проверить, подходит ли она на самом деле.
| Способ | Основная идея | Когда удобно применять | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную через другую и подставить выражение в оставшееся уравнение. | Когда одну переменную легко выразить, например она уже стоит отдельно. | Восстановить вторую переменную и проверить пару в исходных уравнениях. |
| Сложение или вычитание уравнений | Подобрать множители, чтобы коэффициенты при одной неизвестной сократились. | Когда коэффициенты позволяют удобно исключить одну переменную. | Умножать обе части каждого уравнения на одинаковое число; затем проверить полную пару. |
| Графический способ | Построить графики уравнений и найти их общие точки. | Когда нужно увидеть число решений или уравнения удобно изобразить. | Уточнить координаты пересечений подстановкой или точным вычислением. |
Сначала ищите в уравнениях наиболее простой ход: выражение переменной или сокращение коэффициентов. Если такой ход неочевиден, график может подсказать, сколько решений следует ожидать. Независимо от выбранного способа записывайте обе координаты каждой найденной пары и проверяйте ответ.
Решим систему x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение сразу исключит эту переменную. После нахождения x вернёмся к одному из исходных равенств и найдём y.
Сложим левые и правые части уравнений: (x + y) + (x − y) = 7 + 1. Слагаемые y и −y взаимно уничтожаются, остаётся 2x = 8.
Разделим обе части на 2 и получим x = 4. Подставим это значение в первое уравнение: 4 + y = 7, значит y = 3.
Проверим пару (4; 3): 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Оба равенства верны, значит пара подходит системе.
Ответ: (4; 3).
Решим систему y = x², y = 2x + 3. В обоих уравнениях выражена одна и та же величина y, поэтому можно приравнять правые части. Полученное квадратное уравнение может дать два значения x, и каждое нужно использовать для нахождения своей координаты y.
Приравняем выражения: x² = 2x + 3. Перенесём всё в левую часть: x² − 2x − 3 = 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители: (x − 3)(x + 1) = 0. Отсюда x = 3 или x = −1.
При x = 3 получаем y = 3² = 9. При x = −1 получаем y = (−1)² = 1.
Проверим: для пары (3; 9) второе уравнение даёт 2 · 3 + 3 = 9, а для (−1; 1) — 2 · (−1) + 3 = 1. Обе пары удовлетворяют обоим уравнениям.
Ответ: (3; 9), (−1; 1).
Решим систему x² + y² = 25, y = x + 1. Второе уравнение сразу выражает y через x, поэтому подставим это выражение в первое. Поскольку после подстановки появится квадратное уравнение, возможны две пары, и обе следует проверить в системе.
Заменим y на x + 1: x² + (x + 1)² = 25. Раскроем скобки: 2x² + 2x − 24 = 0.
Разделим уравнение на 2 и разложим на множители: x² + x − 12 = 0, (x + 4)(x − 3) = 0. Значит, x = −4 или x = 3.
Вычислим y по формуле y = x + 1: при x = −4 получаем y = −3, а при x = 3 получаем y = 4.
Проверим пары: (−4)² + (−3)² = 16 + 9 = 25, а 3² + 4² = 9 + 16 = 25. В обеих парах также верно y = x + 1.
Ответ: (−4; −3), (3; 4).
Считать решением значения, удовлетворяющие только одному уравнению, — значит забыть, что система задаёт несколько условий одновременно. Такую ошибку допускают, когда находят корни удобного уравнения и сразу записывают их в ответ. Проверка простая: подставьте пару отдельно в каждое уравнение и убедитесь, что все равенства верны.
При подстановке можно найти одну переменную и забыть восстановить вторую или записать полную пару. Обычно это происходит потому, что вычисления с уравнением в одной переменной принимают за окончательный ответ. После решения уравнения вернитесь к исходной связи между переменными. Проверьте, что ответ содержит столько координат, сколько неизвестных в системе.
Неверно умножать на число только одну часть уравнения при подготовке к сложению. Такое действие меняет равенство, хотя его ошибочно считают обычным упрощением. Для самопроверки сравните обе части: каждый член слева и само значение справа должны быть умножены на один и тот же множитель. Например, из x − y = 1 при умножении на 2 получается 2x − 2y = 2.
После возведения в квадрат или другого неравносильного преобразования нельзя автоматически считать все найденные значения решениями. Квадрат может скрыть различие между выражением и его противоположным, из-за чего появляются посторонние варианты. Ошибку допускают, когда проверяют только новое уравнение, а не исходное. Подставьте каждую пару в первоначальные условия и исключите ту, для которой хотя бы одно равенство неверно.
Для решения систем нужны навыки работы с линейными и квадратными уравнениями: приходится преобразовывать выражения, раскрывать скобки и находить корни. Графический способ опирается на координатную плоскость и умение строить графики. Если эти действия вызывают затруднения, полезно повторить их до решения сложных систем.
Системы применяют в текстовых задачах, когда несколько условий связывают неизвестные величины, и в геометрии, например при поиске параметров фигуры. Они также помогают изучать взаимное расположение графиков и строить математические модели реальных ситуаций. Навык решать систему позволяет находить значения, которые согласуются сразу с несколькими условиями.
Что считается решением системы уравнений?
Это набор значений неизвестных, при котором каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Например, для системы с x и y решение записывают парой (x; y).
Как выбрать способ решения системы?
Посмотрите, можно ли легко выразить одну неизвестную или сложить уравнения так, чтобы неизвестная исчезла. Если уравнения заданы графиками или нужно оценить число решений, полезен графический способ.
Почему при сложении уравнений можно исключить неизвестную?
Если коэффициенты при неизвестной противоположны, при сложении они дают ноль. При необходимости сначала умножают обе части одного или обоих уравнений на подходящие числа, сохраняя равенства.
Как найти решения системы графически?
Строят график каждого уравнения в одной координатной плоскости. Координаты общих точек графиков и есть решения системы; по рисунку значения могут быть приблизительными.
Зачем проверять ответы в исходной системе?
Некоторые преобразования, например возведение обеих частей в квадрат, могут привести к значениям, которые не подходят исходным уравнениям. Подстановка найденных значений в исходную систему позволяет отсеять такие посторонние ответы.
15. Системы уравнений
