"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Кубическое уравнение — уравнение третьей степени, и его корни не всегда удаётся найти разложением на множители. Чтобы применить формулу Кардано, сначала устраняют член со второй степенью и получают уравнение y³ + py + q = 0. Величина D = (q/2)² + (p/3)³ подсказывает, сколько у уравнения действительных корней и какой способ решения удобнее. При D < 0 корней три, но для их вычисления нужна тригонометрическая подстановка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кубическое уравнение — уравнение третьей степени общего вида ax³ + bx² + cx + d = 0, где a, b, c, d — числа, а a ≠ 0. Если бы a равнялось нулю, старшей степенью была бы не третья. Это условие отделяет кубические уравнения от квадратных и позволяет применять методы для многочлена третьей степени.
Приведённое кубическое уравнение имеет вид x³ + px + q = 0: коэффициент при x³ равен 1, а слагаемого с x² нет. Общее уравнение сначала делят на коэффициент при x³, затем выполняют замену переменной, устраняющую квадратный член. Приведение к этому виду нужно, чтобы использовать формулу Кардано.
Формула Кардано позволяет выразить корни приведённого уравнения через квадратные и кубические корни. Для неё вычисляют D = (q/2)² + (p/3)³ и записывают y = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D). При выборе кубических корней учитывают условие, что их произведение равно −p/3; так формула задаёт решение исходного уравнения.
Дискриминант приведённого кубического уравнения — величина D = (q/2)² + (p/3)³. Её знак показывает число действительных корней: один, три или один корень с кратностью. Поэтому D помогает выбрать удобный способ решения и предостерегает от попытки извлечь корни обычным способом во всех случаях.
Пусть дано x³ + ax² + bx + c = 0. Замена x = y − a/3 сдвигает переменную так, чтобы после раскрытия скобок коэффициенты при y² взаимно уничтожились: из куба появляется −a y², а из слагаемого ax² — +a y². Остаются слагаемые с y и свободное число, то есть уравнение вида y³ + py + q = 0. Такой сдвиг не меняет число корней, а лишь меняет их обозначение; после решения надо вернуться к x.
Чтобы получить формулу Кардано, в уравнении y³ + py + q = 0 полагают y = u + v. Тогда y³ = u³ + v³ + 3uv(u + v). Если выбрать произведение uv = −p/3, слагаемые с u + v сократятся с py. Для оставшейся суммы нужно u³ + v³ = −q. Значит, u³ и v³ — корни квадратного уравнения z² + qz − (p/3)³ = 0; его решение даёт −q/2 ± √D. Извлекая кубические корни и складывая результаты, получают формулу.
Знак D объясняется числом действительных решений у приведённого уравнения. При D > 0 формула даёт один действительный корень; при D = 0 два корня совпадают, поэтому возникает кратный корень. При D < 0 график кубического многочлена пересекает ось x в трёх точках, а значит, действительных корней три. Для кубического уравнения не может быть больше трёх корней, считая кратности.
При D < 0 подкоренное выражение √D в формуле Кардано не является действительным числом. Поэтому вычисление проходит через кубические корни комплексных чисел, хотя итоговые корни уравнения действительны. Нельзя трактовать такие кубические корни как обычные действительные и выбирать только одно значение: у комплексного числа есть три кубических корня. Для школьных вычислений трёх действительных корней удобнее использовать тригонометрическую форму.
Если D < 0, то p < 0, и можно положить y = 2√(−p/3) cos θ. Формула cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ превращает выражение y³ + py в величину, пропорциональную cos 3θ. После подстановки получается cos 3θ = −q/(2√(−p³/27)); выбирая три значения угла, соответствующие этому косинусу, находят три корня. Они имеют вид yₖ = 2√(−p/3) cos(θ + 2πk/3), где k = 0, 1, 2.
| Условие | Число действительных корней | Особенность корней | Способ нахождения |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Один | Один действительный корень; два остальных комплексные | Формула Кардано |
| D = 0 | Один или два различных | Есть кратный корень | Формула Кардано с учётом кратности |
| D < 0 | Три | Все корни действительные и различные | Тригонометрическая подстановка |
Сначала приведите уравнение к виду y³ + py + q = 0, затем вычислите D и найдите строку с соответствующим знаком. Она показывает и число действительных корней, и подходящий способ решения. При D = 0 проверьте кратность: один корень может повторяться трижды или один раз, а другой — дважды.
Уравнение уже приведённое: p = −6, q = −9. Сначала определим знак D, а затем применим формулу Кардано. Подстановкой проверим полученный корень.
Вычислим D = (−9/2)² + (−6/3)³ = 81/4 − 8 = 49/4, поэтому D > 0.
По формуле Кардано y = ∛(9/2 + 7/2) + ∛(9/2 − 7/2) = ∛8 + ∛1 = 3.
Проверим: 3³ − 6·3 − 9 = 27 − 18 − 9 = 0. При D > 0 это единственный действительный корень.
Ответ: y = 3.
Сначала устраним член с x². После сдвига проверим дискриминант приведённого уравнения, чтобы выбрать способ. В этом примере многочлен удобно разложить на множители и получить все корни без сложных вычислений.
Положим x = y − 1, поскольку коэффициент при x² равен 3. После раскрытия скобок получаем y³ − 7y + 6 = 0.
Здесь p = −7, q = 6, поэтому D = 9 − 343/27 = −100/27 < 0. Значит, действительных корней три; уравнение можно решить подбором рационального корня и разложением.
Подставим y = 1: 1 − 7 + 6 = 0. Тогда y³ − 7y + 6 = (y − 1)(y² + y − 6) = (y − 1)(y + 3)(y − 2), откуда y = 1, −3, 2.
Вернёмся к x = y − 1: получим x = 0, −4, 1. Подстановка в исходный многочлен для каждого значения даёт ноль.
Ответ: x = −4, 0, 1.
Уравнение приведённое, причём p = −3 и q = 1. Его дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней три; используем косинус тройного угла. Такое представление даёт все корни, не вводя комплексные промежуточные значения.
Вычислим D = (1/2)² + (−3/3)³ = 1/4 − 1 = −3/4 < 0.
Положим x = 2cos θ, так как 2√(−p/3) = 2. По формуле cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ уравнение превращается в 2cos 3θ + 1 = 0, то есть cos 3θ = −1/2.
Подходящие значения угла задаются формулой θ = 2π/9 + 2πk/3, где k = 0, 1, 2. Поэтому корни равны 2cos(2π/9), 2cos(8π/9) и 2cos(14π/9); последний можно записать как 2cos(4π/9).
Ответ: x = 2cos(2π/9), 2cos(8π/9), 2cos(4π/9).
При устранении члена с x² иногда сдвигают переменную на коэффициент при x², забывая разделить его на 3. Это происходит из-за того, что сдвиг выбирают на глаз. Проверьте себя раскрытием скобок: коэффициент при y² после замены должен стать нулём.
В формуле Кардано путают знак q или знак в выражении для D. Часто причина в том, что формулу применяют до приведения уравнения к виду y³ + py + q = 0. Перед подстановкой отдельно выпишите p, q и D, а затем проверьте знаки в каждой строке вычислений.
Отрицательное D принимают за признак отсутствия действительных корней. Такой вывод переносят из правил для квадратного уравнения, но для кубического уравнения значение D трактуется иначе: корней три. Сверьте знак с таблицей и при необходимости воспользуйтесь тригонометрической подстановкой.
Комплексное число иногда возводят в кубический корень как действительное и оставляют только одно значение. Так теряются возможные корни, потому что у комплексного числа три кубических корня. Проверьте, учитывает ли выбранный способ все три значения; при D < 0 проще найти корни через косинусы.
Для решения кубических уравнений нужны навыки преобразования многочленов и замены переменной: без них трудно получить приведённый вид. Также пригодятся квадратные уравнения — их решают при выводе формулы Кардано — и комплексные числа, возникающие в случае D < 0. Методы решения кубических уравнений помогают исследовать многочлены, находить их корни и разбирать уравнения более высоких степеней.
Общее кубическое уравнение заменой переменной сводят к приведённому виду.
Для y³ + py + q = 0 используют D = (q/2)² + (p/3)³.
При D > 0 существует один действительный корень.
При D = 0 есть кратные корни.
При D < 0 существуют три действительных корня.
Формула Кардано не всегда удобна для вычисления трёх действительных корней.
После решения полезно подставить найденные корни в исходное уравнение.
Зачем кубическое уравнение сначала приводить к виду без члена с x²?
В формуле Кардано используется уравнение y³ + py + q = 0. Замена переменной устраняет член с y² и позволяет применять формулу без дополнительных слагаемых.
Как понять, какой способ решения выбрать по дискриминанту?
Вычислите D = (q/2)² + (p/3)³ для приведённого уравнения. При D > 0 применяют формулу Кардано, при D = 0 учитывают кратный корень, а при D < 0 удобнее использовать тригонометрическую подстановку.
Почему при отрицательном D у уравнения три действительных корня?
Для приведённого кубического уравнения знак D связан с тем, как его график пересекает ось x. При D < 0 он пересекает ось в трёх точках, поэтому есть три действительных корня. Формула Кардано при этом может содержать комплексные промежуточные выражения.
Можно ли применить формулу Кардано, если уравнение не приведено?
Сначала нужно устранить член со второй степенью заменой переменной. Затем формулу применяют к полученному уравнению y³ + py + q = 0, а найденные значения переводят обратно к исходной переменной.
Как проверить, что найденные значения действительно являются корнями?
Подставьте каждое найденное значение в исходное уравнение. Если после вычислений левая часть равна нулю, значение является корнем. Для выражений с косинусами можно также проверить, что они удовлетворяют исходному уравнению.
17. Формула корней кубического уравнения
