"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Комплексные числа имеют вид a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Они расширяют числовую систему: с их помощью можно, например, решить уравнение x² + 1 = 0, у которого нет действительных корней. Комплексные числа складывают и умножают по правилам алгебры, учитывая i² = −1. На координатной плоскости такое число изображают точкой, а его модуль равен расстоянию от этой точки до начала координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число — это число вида a + bi, где a и b — действительные числа. Такая запись называется алгебраической формой: она показывает обе части числа и позволяет выполнять с ним действия по правилам алгебры. Например, 3 + 2i — комплексное число, в котором коэффициент при i равен 2.
Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Это условие вводят, чтобы можно было записать квадратный корень из отрицательного числа и работать с ним как с частью числовой системы. Например, вместо √−1 пишут i, а √−9 представляют как 3i.
Действительная часть комплексного числа — число a в записи z = a + bi. Она задаёт обычную, действительную составляющую числа и на координатной плоскости отвечает за горизонтальную координату. Например, действительная часть числа 4 − 7i равна 4.
Мнимая часть комплексного числа — число b в записи z = a + bi, то есть коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Она показывает, какая мнимая составляющая входит в число, и задаёт вертикальную координату при изображении. У числа 4 − 7i мнимая часть равна −7.
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен: x² ≥ 0. Поэтому уравнение x² + 1 = 0, равносильное x² = −1, не имеет действительного решения. Если ввести число i с условием i² = −1 и разрешить выражения с ним, уравнение получает решения i и −i; так множество действительных чисел расширяется до комплексных.
Запись z = a + bi однозначно задаёт число, потому что действительная и мнимая части определяются независимо. Если a + bi = c + di, то после переноса слагаемых получаем (a − c) + (b − d)i = 0; это возможно только при равенстве обеих частей нулю. Значит, комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и отдельно мнимые части.
При сложении и вычитании раскрывать скобки удобно по свойствам действительных чисел, а затем собрать слагаемые с i. Получается, что действительные части действуют отдельно от коэффициентов при i: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. При умножении тоже раскрывают скобки, но произведение bi·di содержит i²; замена i² на −1 приводит к формуле (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Сопряжённым к z = a + bi называют число z̄ = a − bi: у него меняется знак мнимой части. При умножении z на z̄ смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, и выходит z·z̄ = a² + b². Модуль |z| = √(a² + b²) связан с этим произведением равенством |z|² = z·z̄; геометрически он равен расстоянию от точки (a; b) до начала координат по теореме Пифагора.
Чтобы разделить z₁ на z₂, где z₂ ≠ 0, дробь умножают на сопряжённое знаменателя: числитель и знаменатель — на z̄₂. Знаменатель превращается в z₂·z̄₂ = |z₂|², то есть в действительное число, после чего результат легко привести к виду a + bi. На координатной плоскости действительная часть откладывается по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной, поэтому числу a + bi соответствует точка (a; b).
| Понятие или действие | Обозначение или формула | Что важно знать |
|---|---|---|
| Алгебраическая форма | z = a + bi | a и b — действительные числа |
| Равенство комплексных чисел | a + bi = c + di | a = c и b = d |
| Сложение | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | Действительные и мнимые части складываются отдельно |
| Умножение | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | Используется равенство i² = −1 |
| Сопряжённое число | z̄ = a − bi | Мнимая часть меняет знак |
| Модуль | |z| = √(a² + b²) | Расстояние от точки z до начала координат |
| Деление | z₁/z₂ = (z₁·z̄₂)/|z₂|², z₂ ≠ 0 | Знаменатель приводится к действительному числу |
Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала приведите числа к виду a + bi, затем выберите соответствующую формулу. При делении проверьте, что знаменатель не равен нулю, а при умножении отдельно проследите за появлением i².
Вычислить (2 + 3i) + (4 − 5i) и (2 + 3i)(4 − 5i). В первом выражении нужно объединить слагаемые одного типа, а во втором — раскрыть скобки и заменить квадрат i. Такой порядок помогает не смешать действительную и мнимую части.
Ответ: сумма равна 6 − 2i, произведение — 23 + 2i. Проверка для сложения: действительная часть 2 + 4 = 6, мнимая часть 3 − 5 = −2. В произведении знак перед 15 становится положительным именно из-за замены i² на −1.
Вычислить (3 + 2i)/(1 − i). Знаменатель содержит i, поэтому умножим дробь на число, которое сделает знаменатель действительным. Для 1 − i таким множителем служит сопряжённое 1 + i; числитель и знаменатель необходимо умножить на него одновременно, чтобы значение дроби не изменилось.
Ответ: ½ + 5/2 i. Знаменатель стал действительным, потому что сопряжённые множители дают сумму квадратов. Если бы мы умножили на сопряжённое только числитель, значение дроби изменилось бы.
Решить уравнение x² − 4x + 13 = 0. Дискриминант здесь отрицателен, поэтому действительных корней нет; комплексные корни получаются, если представить корень из отрицательного числа через i. Используем формулу корней квадратного уравнения и условие i² = −1.
Ответ: x₁ = 2 + 3i, x₂ = 2 − 3i. Корни отличаются знаками мнимой части и являются сопряжёнными. Подстановка каждого корня в исходное уравнение даёт ноль с учётом i² = −1.
Ошибка: считать, что i = −1 или i² = 1. Путают число i с его квадратом, хотя задано именно i² = −1, а само i не равно −1. Проверяйте запись: если встретилось i², заменяйте её на −1, но не меняйте сам символ i.
Ошибка: складывать действительные и мнимые части как попало или объединять a + bi в одно действительное число. Так делают, когда воспринимают запись как обычное выражение без учёта двух отдельных частей. Для проверки выпишите коэффициенты при 1 и при i отдельно: складывать можно только однородные слагаемые.
Ошибка: при умножении забывать, что bi·di = −bd. Причина — в том, что при раскрытии скобок легко не заметить множитель i² в последнем произведении. Проверяйте каждый член произведения и отдельно отмечайте все случаи, где i умножается на i.
Ошибка: при делении умножать на сопряжённое только числитель или неверно менять знак в знаменателе. Сопряжённое 1 − i — это 1 + i: знак меняется у мнимой части, а не у действительной. Умножайте и числитель, и знаменатель на одно и то же сопряжённое и проверьте, что знаменатель стал действительным.
Для действий с комплексными числами нужны навыки работы с действительными числами, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. При решении квадратных уравнений пригодятся дискриминант и формула корней. Эти умения помогают аккуратно переходить от вычислений к записи ответа в виде a + bi.
Геометрическое изображение комплексного числа опирается на координатную плоскость из курса геометрии. Действительная и мнимая части задают координаты точки, а модуль находится по теореме Пифагора как расстояние до начала координат. Поэтому полезны знания о расстояниях и векторах.
Комплексные числа пригодятся при дальнейшем изучении многочленов, а также тригонометрической и показательной форм записи. Они встречаются и за пределами математики — например, в задачах физики и электротехники. Освоение алгебраической формы служит основой для этих применений.
Зачем нужны комплексные числа, если в обычных вычислениях достаточно действительных?
Они позволяют решать уравнения, у которых нет действительных корней, например x² + 1 = 0. Кроме того, комплексные числа применяются в математике, физике и электротехнике.
Почему мнимая единица обозначается буквой i и почему i^2 равно -1?
Буква i — принятое обозначение мнимой единицы; оно связано со словом imaginary, то есть «мнимый». Равенство i² = −1 задаётся при расширении действительных чисел и позволяет записывать квадратный корень из −1 как i.
Как быстро определить действительную и мнимую части комплексного числа?
Приведите число к виду a + bi. Тогда действительная часть равна a, а мнимая часть — коэффициенту b при i; например, у числа 5 − 3i это 5 и −3.
Зачем при делении комплексных чисел используют сопряжённое число?
При умножении числа на сопряжённое мнимая часть исчезает: (a + bi)(a − bi) = a² + b². Поэтому знаменатель дроби становится действительным, и результат можно записать в алгебраической форме.
Как комплексное число изображается на координатной плоскости?
Числу a + bi соответствует точка с координатами (a; b): действительная часть задаёт координату по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной. Отрезок от начала координат до точки имеет длину, равную модулю числа.
18. Комплексные числа
