"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Комплексные числа расширяют множество действительных чисел и позволяют работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Их записывают в виде a + bi, где a — действительная часть, b — коэффициент при мнимой единице i. Главное свойство этой единицы: i² = −1. Комплексные числа сравнивают по двум частям, а складывают, вычитают и умножают по обычным правилам раскрытия скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мнимая единица — это число i, для которого i² = −1. В действительных числах такого числа нет, поэтому i вводят как новый особый объект. Благодаря ему √(−a) можно записывать при a > 0 как √a · i.
Комплексное число — выражение a + bi, где a и b — действительные числа. Число a отвечает за обычную, действительную часть, а слагаемое bi содержит мнимую составляющую. Такая запись позволяет объединить действительные числа и числа с i в одну систему.
Действительная часть комплексного числа a + bi — это число a. Её обозначают Re z, если z = a + bi. Она показывает, какое действительное слагаемое входит в комплексное число.
Мнимая часть числа a + bi — это коэффициент b при i, её обозначают Im z. Например, для z = 4 − 7i имеем Im z = −7, а не −7i. Это обозначение нужно, чтобы отдельно работать с коэффициентом мнимой единицы.
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому уравнение x² = −1 не имеет решения. Чтобы сохранить привычные правила вычислений и всё же записывать такие корни, вводят новую единицу i с условием i² = −1. Тогда √(−9) можно представить как 3i, ведь (3i)² = 9i² = −9.
Комплексное число записывают как a + bi, потому что в нём нужно отдельно указать обычную часть и коэффициент при новой единице. Такая запись единственна: если a + bi = c + di, то перенос и сравнение соответствующих частей приводит к a = c и b = d. Значит, одному комплексному числу соответствует только одна пара действительных чисел a и b.
Из единственности записи следует правило равенства комплексных чисел. Нельзя сравнивать только их общие значения или только коэффициенты при i: должны совпасть обе части. Например, 2 + 3i и 2 + 5i не равны, поскольку их мнимые части различаются.
При сложении и вычитании объединяют подобные слагаемые. Действительные части складывают или вычитают между собой, а коэффициенты при i делают то же самое: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Такой порядок сохраняет стандартную форму a + bi.
Умножение выполняют раскрытием скобок, как для двучленов. После этого слагаемые с i объединяют, а произведение i² заменяют на −1. Поэтому (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i.
| Действие | Правило для z₁ = a + bi и z₂ = c + di |
|---|---|
| Равенство: z₁ = z₂ | a = c и b = d |
| Сложение: z₁ + z₂ | (a + c) + (b + d)i |
| Вычитание: z₁ − z₂ | (a − c) + (b − d)i |
| Умножение: z₁ · z₂ | (ac − bd) + (ad + bc)i |
Сначала определите, какое действие требуется, а затем подставьте действительные части и коэффициенты при i в нужную формулу. При умножении полезно не пропускать промежуточное раскрытие скобок. В конце приведите результат к виду a + bi.
Условие: записать число √(−25) в виде a + bi и указать его действительную и мнимую части.
Ответ: √(−25) = 5i; Re z = 0, Im z = 5.
Условие: найти сумму и разность чисел 3 − 2i и −1 + 5i.
Ответ: сумма равна 2 + 3i, разность равна 4 − 7i.
Условие: вычислить (2 + 3i)(1 − 4i) и проверить, равно ли произведение 14 − 5i.
Ответ: произведение равно 14 − 5i, поэтому указанное в условии равенство верно.
Ошибка: считать, что i = −1. Такое происходит из-за невнимательного чтения определения, хотя оно говорит только о квадрате: i² = −1. Проверка проста: если бы i = −1, то i² = 1.
Ошибка: называть мнимой частью всё слагаемое bi. В записи a + bi мнимая часть — именно коэффициент b, потому что i уже является общей мнимой единицей. Для 4 − 7i правильный ответ Im z = −7.
Ошибка: сравнивать комплексные числа как обычные выражения, не разделяя части. Равенство возможно только при совпадении и действительных частей, и коэффициентов при i. Запишите оба числа в виде a + bi и сравните пары коэффициентов.
Ошибка: забывать заменить i² на −1 или считать i² равным i. Такая путаница появляется при быстром раскрытии скобок. После умножения проверьте каждое слагаемое с двумя i и сразу примените определение мнимой единицы.
До изучения комплексных чисел нужны действия с действительными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Без этих навыков трудно правильно складывать и перемножать выражения a + bi. Особенно важно внимательно работать со знаками при вычитании.
Комплексные числа применяются при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Они также становятся основой для изучения более общих уравнений и многих задач математики, физики и техники.
Почему нельзя просто извлечь квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел?
Квадрат действительного числа не бывает отрицательным: при возведении в квадрат получается число, не меньшее нуля. Поэтому в действительных числах √(−25) не имеет значения, а в расширенной системе чисел его записывают как 5i.
Чему равны i² и i?
По определению i² = −1. Саму мнимую единицу i нельзя заменить числом −1: у −1 квадрат равен 1, а не −1.
Как найти мнимую часть числа 4 − 7i?
Нужно найти коэффициент при i. В записи 4 − 7i этот коэффициент равен −7, поэтому Im z = −7.
Когда два комплексных числа считаются равными?
Числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда одновременно a = c и b = d. Отдельно сравнивают действительные части и коэффициенты при i.
Как перемножить два комплексных числа?
Сначала раскрывают скобки, как при умножении двучленов. Затем заменяют i² на −1 и приводят действительную и мнимую части.
2. Комплексные числа
