19. Геометрическое представление комплексных чисел ..

Определения и обозначения

Комплексная плоскость — плоскость, где горизонтальная ось соответствует действительным частям, а вертикальная — мнимым. Координаты точки записывают в том же порядке: сначала действительная, затем мнимая часть. Такая модель нужна, чтобы представить комплексные числа наглядно и применять к ним геометрические рассуждения.

Изображением комплексного числа z = a + bi называют точку с координатами (a; b) или радиус-вектор, проведённый из начала координат к этой точке. Радиус-вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Он позволяет рассматривать действия с числами как действия с векторами.

Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до точки, изображающей число z. Для z = a + bi это расстояние вычисляют по теореме Пифагора: |z| = √(a² + b²). Модуль показывает длину радиус-вектора и помогает находить расстояния на комплексной плоскости.

Сопряжённые числа имеют вид a + bi и a − bi: действительная часть у них одинакова, а знаки мнимых частей противоположны. На плоскости их изображения отражены друг от друга относительно действительной оси. Сопряжение удобно узнавать по изменению знака при i и сразу видеть расположение чисел.

Как это устроено

Запись z = a + bi уже содержит две координаты: a — обычное действительное число, а b — коэффициент при мнимой единице i. Поэтому естественно отложить a по горизонтальной оси, а b — по вертикальной, получив точку (a; b). Такой порядок сохраняет смысл обеих частей числа и не смешивает их роли. Например, знак координаты сразу показывает, в какой части плоскости окажется точка.

От начала координат к точке (a; b) можно провести радиус-вектор. Его горизонтальная и вертикальная составляющие образуют прямоугольный треугольник с вектором в качестве гипотенузы, поэтому по теореме Пифагора его длина равна √(a² + b²). Именно эта длина и является модулем числа. Значит, модуль не зависит от того, в каком направлении направлен вектор, а определяется только расстоянием до начала координат.

При сложении z₁ = a + bi и z₂ = c + di отдельно складываются действительные и мнимые части: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i. Поэтому координаты точек складываются покомпонентно, как при сложении векторов. Геометрически можно отложить второй радиус-вектор от конца первого; тот же результат даёт правило параллелограмма, где сумма — диагональ, выходящая из начала координат. Эти построения объясняют, почему векторный образ согласуется с алгебраической записью.

При вычитании получаем z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i, то есть из каждой координаты первого числа вычитается соответствующая координата второго. Вектор разности направлен от конца радиус-вектора z₂ к концу радиус-вектора z₁, если оба исходных вектора начинаются в одной точке. Его длина — это расстояние между концами, то есть между изображениями чисел. Следовательно, расстояние между точками для z₁ и z₂ равно |z₁ − z₂|.

У чисел a + bi и a − bi горизонтальная координата a совпадает, а вертикальные координаты b и −b отличаются только знаком. При отражении относительно горизонтальной оси горизонтальная координата остаётся прежней, а вертикальная меняет знак. Поэтому сопряжённым числам соответствуют симметричные точки относительно действительной оси. Если b = 0, обе точки совпадают: такое число является действительным и сопряжено само себе.

Комплексное число и его геометрический образ

Пользуйтесь таблицей как переходом от алгебраической записи к точке или вектору: сначала найдите действительную и мнимую части, затем запишите координаты. Для вычисления модуля применяйте формулу длины, а для суммы и разности выполняйте действия с соответствующими координатами. Геометрический образ помогает проверить, верно ли вы поняли направление и взаимное расположение чисел.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить z₁ = 2 + i и z₂ = −1 + 3i и указать их действительные и мнимые части. Чтобы построить точки, нужно прочитать коэффициенты при 1 и i как первую и вторую координаты. Сначала это даёт точку z₁, затем — точку z₂; отрицательная первая координата второй точки означает, что она расположена левее начала координат.

1. Для z₁ = 2 + i имеем Re z₁ = 2 и Im z₁ = 1, поэтому его образ — точка (2; 1).
2. Для z₂ = −1 + 3i имеем Re z₂ = −1 и Im z₂ = 3, поэтому его образ — точка (−1; 3).
3. На плоскости отметьте сначала горизонтальную координату, а затем вертикальную для каждой точки.

Ответ: z₁ изображается точкой (2; 1), его части равны 2 и 1; z₂ — точкой (−1; 3), его части равны −1 и 3.

Задача 2. Найти модуль z = −3 + 4i и расстояние между образами z₁ = 1 + 2i и z₂ = 4 + 6i. Модуль первого числа — длина от начала координат, поэтому достаточно использовать его координаты. Для второго вопроса найдём разность чисел: длина радиус-вектора разности даст расстояние между двумя точками.

1. У числа z действительная часть −3, мнимая часть 4. Тогда |z| = √( (−3)² + 4² ) = √25 = 5.
2. Вычислим z₂ − z₁ = (4 − 1) + (6 − 2)i = 3 + 4i.
3. Расстояние между точками равно |z₂ − z₁| = √(3² + 4²) = 5.

Ответ: |−3 + 4i| = 5; расстояние между образами z₁ и z₂ равно 5.

Задача 3. Изобразить z₁ = 2 + i и z₂ = −1 + 3i, построить сумму и разность и проверить координаты вычислением. Сначала зададим исходные точки и применим к их векторам правило сложения и вычитания. Затем алгебраическая запись проверит координатный результат: каждая координата должна получиться из соответствующих действительных или мнимых частей.

1. Исходные точки имеют координаты (2; 1) и (−1; 3).
2. Для суммы складываем координаты: (2 + (−1); 1 + 3) = (1; 4). Вектор суммы можно построить как диагональ параллелограмма.
3. Для разности вычитаем координаты: (2 − (−1); 1 − 3) = (3; −2). Вектор z₁ − z₂ направлен от конца вектора z₂ к концу вектора z₁.
4. Проверка: z₁ + z₂ = (2 − 1) + (1 + 3)i = 1 + 4i; z₁ − z₂ = (2 + 1) + (1 − 3)i = 3 − 2i.

Ответ: сумма изображается точкой (1; 4), разность — точкой (3; −2).

Типичные ошибки

Первая ошибка — изобразить a + bi точкой (b; a), переставив координаты. Её допускают, потому что обе части числа стоят рядом, но действительная часть относится к горизонтальной оси, а мнимая — к вертикальной. Проверьте себя: в записи a + bi число a идёт первым и задаёт первую, горизонтальную координату; коэффициент b задаёт вторую.

Нельзя считать модуль равным a + b или |a| + |b|: модуль — длина наклонного радиус-вектора, а не сумма его составляющих. Ошибку легко заметить, если сравнить ответ с прямоугольным треугольником, стороны которого равны |a| и |b|. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна √(a² + b²), а не сумме катетов.

Модуль числа и расстояние между любыми двумя точками — не одно и то же. Модуль |z| измеряет расстояние от образа z до начала координат, поэтому его можно понимать как частный случай расстояния. Для точек z₁ и z₂ вычисляйте |z₁ − z₂|; проверить результат можно, найдя разность координат и длину полученного вектора.

Сопряжённое число отражают относительно действительной, а не мнимой оси. Путаница возникает, когда меняют знак не той координаты: у a + bi меняется знак только у коэффициента при i, и получается точка (a; −b). При проверке сравните горизонтальные координаты: они должны совпасть, а вертикальные — быть противоположными.

Связь с другими темами

Для работы с комплексной плоскостью нужно уметь записывать число в виде a + bi, выделять действительную и мнимую части и отмечать точку по координатам. Эти навыки опираются на знакомые правила координатной плоскости и теорему Пифагора. Благодаря геометрической модели формулы для сложения, вычитания и модуля получают наглядное объяснение.

Геометрическое представление помогает понимать операции с комплексными числами и расстояния между их образами. Оно также подготавливает к изучению тригонометрической формы: число можно описывать через длину радиус-вектора и его направление. Направление связано с аргументом комплексного числа, а модуль задаёт длину вектора.

Что запомнить

• Числу a + bi соответствует точка (a; b).
• Действительная часть откладывается по горизонтальной оси, мнимая — по вертикальной.
• Модуль числа равен расстоянию от его изображения до начала координат.
• Расстояние между образами z₁ и z₂ равно |z₁ − z₂|.
• Сложение комплексных чисел соответствует сложению их радиус-векторов.
• Образы сопряжённых чисел симметричны относительно действительной оси.