"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Тригонометрическая форма записывает ненулевое комплексное число через его модуль и аргумент: z = r(cos φ + i sin φ). Она показывает число как точку на плоскости и упрощает умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней. Модуль определяет расстояние до начала координат, а аргумент — направление радиус-вектора. Для одного числа аргументы отличаются на 2πk, поэтому при записи важно учитывать периодичность и четверть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль комплексного числа — неотрицательное расстояние от соответствующей точки на комплексной плоскости до начала координат. Для z = a + bi он равен √(a² + b²). Модуль показывает длину радиус-вектора и помогает перейти от координат точки к полярному описанию числа.
Аргумент комплексного числа — угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z. Аргументы одного ненулевого числа отличаются на 2πk, где k ∈ Z. Это связано с тем, что полный оборот не меняет направления, а значит, и самого числа.
Главный аргумент — одно выбранное значение аргумента из заранее установленного промежутка, например от −π до π. Такой выбор не меняет число, но позволяет однозначно указывать один угол вместо бесконечного набора. При этом остальные аргументы по-прежнему получаются прибавлением 2πk.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль, а φ — аргумент. Она объединяет длину радиус-вектора и его направление. Такая запись особенно удобна, когда нужно перемножать числа, делить их или находить степени и корни.
Алгебраическая запись z = a + bi связывает число с точкой, у которой координаты (a, b): действительная часть задаёт горизонтальное положение, а мнимая — вертикальное. Расстояние до начала координат находим по теореме Пифагора: r = √(a² + b²). Поэтому модуль не зависит от того, в какую сторону направлена точка, и всегда неотрицателен.
Если z не равно нулю, радиус-вектор имеет ненулевую длину и задаёт направление, а значит, можно определить угол φ. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b гипотенуза равна r, поэтому отношения координат к длине вектора дают cos φ = a/r и sin φ = b/r. Отсюда следуют равенства a = r cos φ и b = r sin φ.
Подставим выражения для координат в z = a + bi: получим z = r cos φ + i r sin φ. Вынося общий множитель r, приходим к записи z = r(cos φ + i sin φ). Для любого ненулевого числа точка лежит на некотором ненулевом радиус-векторе, значит, у неё есть длина и направление, а такую форму можно составить всегда.
Один и тот же луч задаётся углами φ, φ + 2π, φ − 2π и другими значениями φ + 2πk: целое число k указывает, сколько полных оборотов совершили. Чтобы выбрать верный угол по координатам, сначала определяют знаки a и b: они показывают четверть, в которой расположена точка. Отношения sin φ = b/r и cos φ = a/r помогают уточнить угол внутри этой четверти; одного отношения b/a недостаточно, так как оно может соответствовать углам в разных четвертях.
У нуля координаты обе равны нулю, поэтому r = 0. Но радиус-вектор нулевой длины не указывает ни на какое направление: невозможно определить угол между ним и осью. Поэтому модуль нуля существует, а аргумент — нет, и обычную тригонометрическую форму применяют к ненулевым числам.
| Операция | Запись результата | Условие или замечание |
|---|---|---|
| Умножение | r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)) | Модули перемножают, аргументы складывают. |
| Деление | (r₁/r₂)(cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)) | Делитель ненулевой: r₂ ≠ 0. |
| Возведение в натуральную степень | rⁿ(cos nφ + i sin nφ) | Формула Муавра; n — натуральное число. |
| Извлечение корня n-й степени | ⁿ√r(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)) | k = 0, 1, …, n − 1; для ненулевого числа получаются n корней. |
В таблице r₁, r₂ — модули чисел, а φ₁, φ₂ — их аргументы. Перед вычислением выберите аргументы исходных чисел и проверьте, что делитель не равен нулю. При извлечении корня переберите все указанные значения k: они задают разные корни.
Сначала найдём длину радиус-вектора, затем определим направление точки по знакам координат. Координаты равны a = −1 и b = √3, значит, действительная часть отрицательна, а мнимая положительна. Это помогает выбрать угол не только по величине, но и по четверти.
Проверка через координаты даёт 2 · (−½) = −1 для действительной части и 2 · √3/2 = √3 для мнимой. Оба знака совпадают с исходным числом. Ответ: z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
Пусть требуется перемножить z₁ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) и z₂ = 3(cos(π/4) + i sin(π/4)). При раскрытии скобок пришлось бы отдельно перемножать действительные и мнимые части. Правило для тригонометрической формы позволяет сразу работать с модулем и аргументом.
Полученный ответ не требует переводить исходные числа в алгебраическую форму. Умножение увеличило длину вектора в три раза относительно первого модуля, а поворот сложил два угла. Ответ: 6(cos(5π/12) + i sin(5π/12)).
Ищем числа, четвёртая степень которых равна данному числу. Его модуль равен 16, а аргумент — π/3; модуль корня будет ⁴√16 = 2. Поскольку аргумент можно увеличить на 2πk, при делении на 4 надо учесть четыре значения k: от 0 до 3.
Чтобы изобразить ответы, отметьте на плоскости четыре точки на окружности радиуса 2. Их аргументы отличаются на π/2, поэтому точки равномерно распределены по окружности. При возведении каждого корня в четвёртую степень аргументы становятся равны π/3 с точностью до полного оборота.
Для ненулевого числа часто указывают один аргумент и считают запись полной. Это происходит, когда забывают о периоде тригонометрических функций: поворот на 2π не меняет направления луча. Записывайте все аргументы как φ + 2πk, k ∈ Z, или явно указывайте, что найден главный аргумент.
Иногда аргумент находят только из отношения b/a, не проверяя четверть. Такое отношение не различает все направления: одинаковое значение может соответствовать точкам в разных четвертях. Проверяйте знаки действительной и мнимой частей, а затем — знаки синуса и косинуса выбранного угла.
При умножении можно по ошибке сложить модули или перемножить аргументы. Обычно так происходит из-за привычки применять правила арифметики к числам целиком, не разделяя длину и направление. Проверка простая: модули дают масштаб произведения, а аргументы показывают поворот, поэтому нужно умножить модули и сложить углы.
При извлечении корня иногда находят только одно значение, подставляя лишь k = 0. Остальные решения теряются, если не учесть все возможные аргументы исходного числа. Для корня n-й степени выпишите k от 0 до n − 1 и убедитесь, что получили n разных направлений.
Для перехода к тригонометрической форме нужны алгебраическая запись z = a + bi, комплексная плоскость и умение находить модуль по координатам. Чтобы выбрать аргумент, пригодятся значения синуса и косинуса, знание четвертей и периодичности тригонометрических функций. Новая запись, в свою очередь, упрощает действия с комплексными числами: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней.
Как найти аргумент комплексного числа, если известны его действительная и мнимая части?
Сначала найдите угол, для которого cos φ = a/r и sin φ = b/r, где r = √(a² + b²). Знаки a и b укажут четверть, а это позволяет выбрать правильный угол. Все аргументы будут иметь вид φ + 2πk.
Почему у одного комплексного числа бесконечно много аргументов?
Поворот на полный круг 2π возвращает радиус-вектор в прежнее положение. Поэтому к любому аргументу можно прибавить 2πk, где k — целое число, и получить тот же угол с точностью до полного оборота.
Можно ли записать нуль в тригонометрической форме?
Для нуля модуль равен 0, но направление радиус-вектора не определено. Поэтому у нуля нет аргумента, и стандартная тригонометрическая форма для него не задаётся.
Как умножать комплексные числа, записанные в тригонометрической форме?
Перемножьте модули, а аргументы сложите: r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) · r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) = r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)). Это позволяет вычислять произведение без раскрытия скобок.
Почему при извлечении корня из комплексного числа получается несколько значений?
Аргумент исходного числа можно записать как φ + 2πk. После деления этого выражения на n получаются n различных направлений при k от 0 до n − 1; дальнейшие значения повторяются.
20. Тригонометрическая форма комплексного числа
