"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Тригонометрическая форма записывает ненулевое комплексное число через его модуль и аргумент: z = r(cos φ + i sin φ). Она связывает алгебраическую запись a + bi с точкой на комплексной плоскости и её полярными координатами. Такая запись помогает увидеть геометрический смысл числа и упрощает умножение и деление: модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются. У одного числа есть бесконечно много аргументов, отличающихся на 2πk.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число в алгебраической форме записывают как z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью комплексного числа. Такая запись показывает, из каких двух координат состоит число, и позволяет перейти к его геометрическому изображению.
Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей числу z. Для z = a + bi он равен |z| = √(a² + b²), поскольку координаты a и b образуют катеты прямоугольного треугольника. Модуль показывает длину числа как вектора и станет величиной r в тригонометрической записи.
Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, проведённым к точке числа. Если один аргумент равен φ, то все аргументы имеют вид φ + 2πk, где k — целое число: полный оборот не меняет направления. Аргумент помогает описать положение числа на плоскости вместе с его модулем.
Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа имеет вид z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, а φ — аргумент числа. Косинус задаёт направление по действительной оси, синус — по мнимой. Эта форма объединяет расстояние до начала координат и направление радиус-вектора, поэтому особенно удобна для операций с комплексными числами.
Числу z = a + bi соответствует точка с координатами (a, b): действительная часть задаёт положение по горизонтали, а коэффициент при i — по вертикали. Радиус-вектор этой точки соединяет начало координат с самим числом. Если вместо обычных координат описать точку расстоянием от начала и углом, получим её полярные координаты — модуль и аргумент. Поэтому одна и та же точка может быть записана как a + bi или через r и φ.
Из геометрии полярных координат следуют равенства a = r cos φ и b = r sin φ. Подставляя их в z = a + bi, получаем z = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ). Найти φ только по отношению b/a недостаточно: тангенс повторяется через π, поэтому одинаковое значение может относиться к точкам в разных четвертях. Четверть проверяют по знакам a и b; например, если a < 0 и b > 0, точка находится во второй четверти.
Углы φ и φ + 2πk задают одинаковое направление, потому что отличаются на целое число полных оборотов. Значит, у каждого ненулевого числа есть бесконечно много аргументов, хотя соответствующие точки на плоскости совпадают. Для числа 0 + 0i длина радиус-вектора равна нулю, но направление выбрать нельзя. Поэтому аргумент нуля не определён, а стандартную тригонометрическую форму рассматривают для ненулевых чисел.
При умножении тригонометрических форм сначала перемножаются множители-модули, а углы складываются. Причина видна из формул sin(α + β) и cos(α + β): после раскрытия скобок в произведении (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) получается cos(α + β) + i sin(α + β). Поэтому для чисел с модулями r₁, r₂ и аргументами α, β произведение имеет модуль r₁r₂ и аргумент α + β.
Деление ненулевых чисел подчиняется похожему правилу: модуль делимого делят на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитают аргумент делителя. Это следует из того, что частное можно рассматривать как произведение делимого на обратное число. Обратное число имеет модуль 1/r₂ и аргумент −β, поэтому в результате получаются модуль r₁/r₂ и аргумент α − β. Делить на ноль нельзя, поэтому модуль делителя должен быть положительным.
| Что рассматриваем | Запись или правило | Условия и пояснения |
|---|---|---|
| Модуль числа z = a + bi | |z| = √(a² + b²) | Расстояние точки (a, b) от начала координат. |
| Аргумент числа z | φ + 2πk, k ∈ Z | Определён для z ≠ 0; угол выбирают с учётом четверти. |
| Тригонометрическая форма | z = r(cos φ + i sin φ) | r = |z| > 0, φ — аргумент числа. |
| Умножение в тригонометрической форме | r₁r₂(cos(α + β) + i sin(α + β)) | Модули перемножаются, аргументы складываются. |
| Деление в тригонометрической форме | (r₁/r₂)(cos(α − β) + i sin(α − β)) | r₂ > 0; модули делятся, аргументы вычитаются. |
В таблице сначала найдите строку, которая соответствует нужной операции или характеристике числа. При переходе от a + bi к тригонометрической форме отдельно определите модуль и аргумент, не забывая проверить четверть. Для умножения и деления достаточно применить правила к модулям и аргументам.
Задача 1. Записать число z = 1 + i в тригонометрической форме. Здесь координаты точки равны (1, 1), поэтому обе части положительны и точка лежит в первой четверти. Сначала найдём длину радиус-вектора, затем выберем угол, который соответствует направлению точки.
Модуль равен r = √(1² + 1²) = √2. Это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с равными катетами.
Для аргумента имеем cos φ = 1/√2 и sin φ = 1/√2. В первой четверти этим значениям соответствует φ = π/4.
Подставляем r и φ в формулу тригонометрической формы. Получаем z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)).
Ответ: √2(cos(π/4) + i sin(π/4)).
Задача 2. Записать z = −1 + √3i в тригонометрической форме и указать все его аргументы. Координаты точки равны (−1, √3): действительная часть отрицательна, мнимая положительна, значит, точка лежит во второй четверти. Этот вывод необходим, чтобы выбрать правильный угол, а не только найти значение тангенса.
Находим модуль: r = √((-1)² + (√3)²) = √4 = 2. Следовательно, коэффициент перед скобками в тригонометрической форме равен 2.
Отношение мнимой части к действительной равно −√3, поэтому угол с таким тангенсом может быть неоднозначным. Во второй четверти подходящий угол — φ = 2π/3: его косинус равен −1/2, а синус — √3/2.
Записываем число как 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)). Все аргументы получаются прибавлением полного оборота: 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)); аргументы — 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Задача 3. Найти произведение z₁ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) и z₂ = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)), затем представить результат в тригонометрической форме. Оба числа уже записаны в нужном виде, поэтому переводить их в алгебраическую форму не требуется. Нужно применить правило умножения к модулям и углам отдельно.
Перемножаем модули: 2 · 3 = 6. Значит, модуль результата равен 6.
Складываем аргументы: π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = π/2. Это направление произведения, поскольку при умножении повороты складываются.
Подставляем полученные модуль и аргумент: z₁z₂ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)). При желании можно проверить запись: cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1, значит, произведение равно 6i.
Ответ: z₁z₂ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)).
Первая ошибка — находить аргумент только по тангенсу и не проверять четверть. Её допускают, потому что у углов, отличающихся на π, значения тангенса одинаковы. Проверьте знаки a и b и определите, где находится точка; затем выберите угол из нужной четверти. Подстановка его синуса и косинуса должна вернуть исходные координаты.
Вторая ошибка — считать, что найденный аргумент единственный. На деле угол можно увеличить или уменьшить на любое целое число полных оборотов, не меняя направления. Записывайте все аргументы как φ + 2πk, k ∈ Z, если требуется именно полный набор. Для проверки убедитесь, что разность любых двух указанных аргументов кратна 2π.
Третья ошибка — приписывать аргумент нулю. Так происходит, если применять формулу, не проверив, что точка совпадает с началом координат. У нулевого вектора нет направления, поэтому аргумент не существует. Перед поиском угла вычислите модуль: если |z| = 0, остановитесь и не записывайте тригонометрическую форму с аргументом.
Четвёртая ошибка — складывать модули или перемножать аргументы при умножении. Правило устроено наоборот: длины радиус-векторов перемножаются, а углы поворота складываются. Чтобы не перепутать действия, записывайте отдельно r₁r₂ и α + β, после чего собирайте результат в одну форму. Проверка на примерах показывает, что умножение на число с модулем 1 не меняет модуль, но может изменить аргумент.
Для работы с тригонометрической формой нужны алгебраическая запись z = a + bi и изображение комплексных чисел на плоскости: именно они дают координаты точки. Формула модуля опирается на теорему Пифагора, а переход к записи через синус и косинус — на равенство sin²φ + cos²φ = 1. Поэтому новая форма связывает комплексные числа с геометрией и тригонометрией. Правила умножения и деления в ней становятся основой для формул возведения комплексного числа в степень и извлечения корней.
Почему у одного комплексного числа несколько аргументов?
Поворот на полный оборот 2π возвращает радиус-вектор в то же положение. Поэтому, если φ — аргумент числа, то φ + 2πk тоже аргумент для любого целого k.
Как определить аргумент, если известен только тангенс угла?
По значению тангенса можно найти угол лишь с точностью до прибавления π. Поэтому нужно посмотреть на знаки действительной и мнимой частей и определить четверть точки, а затем выбрать подходящий угол.
Можно ли записать ноль в тригонометрической форме?
Для нуля нельзя определить аргумент: его радиус-вектор имеет нулевую длину и не указывает направление. Поэтому стандартную тригонометрическую форму z = r(cos φ + i sin φ) используют для ненулевых чисел, у которых r > 0.
Зачем переходить от алгебраической формы к тригонометрической?
Тригонометрическая форма наглядно показывает модуль и направление комплексного числа на плоскости. В ней проще выполнять умножение и деление, а также выводить правила возведения в степень и извлечения корней.
Что происходит с модулями и аргументами при умножении комплексных чисел?
Модуль произведения равен произведению модулей множителей, а аргумент произведения равен сумме их аргументов с точностью до 2πk. Это следует из формул синуса и косинуса суммы углов.
§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
