5.5. Тригонометрическая форма комплексного числа

Определения и обозначения

Модуль комплексного числа z = a + bi — неотрицательное число |z| = √(a² + b²), равное расстоянию от начала координат до точки (a; b). Здесь a — действительная часть, а b — коэффициент при мнимой единице i. Модуль нужен, чтобы измерять длину радиус-вектора числа и задавать масштаб его записи.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 — угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки (a; b). Один и тот же поворот можно описать углами φ + 2πk, где k — целое число, поэтому аргументы одного числа отличаются на 2πk. Аргумент задаёт направление числа на координатной плоскости.

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, а φ — аргумент z. Число r показывает длину радиус-вектора, а синус и косинус угла задают его направление. Такая запись позволяет отдельно видеть размер числа и его положение на плоскости.

Главный аргумент — выбранное значение аргумента из заранее установленного промежутка. Например, можно выбирать аргумент из промежутка (−π; π], но этот выбор нужно оговорить. Понятие главного аргумента помогает однозначно назвать один угол, хотя все аргументы числа по-прежнему отличаются на 2πk.

Как это устроено

Комплексное число a + bi изображается точкой (a; b): первая координата соответствует действительной части, вторая — коэффициенту при i. От начала координат к этой точке проводят радиус-вектор. По теореме Пифагора его длина равна √(a² + b²), поэтому именно эта длина и является модулем числа.

Пусть радиус-вектор образует угол φ с положительной действительной полуосью, а его длина равна r. Проекция вектора на горизонтальную ось равна r cos φ, а на вертикальную — r sin φ: так определяются координаты точки на окружности радиуса r. Поэтому действительная и мнимая части числа равны a = r cos φ и b = r sin φ.

Подставляя найденные координаты в алгебраическую запись, получаем a + bi = r cos φ + i r sin φ. Вынося общий множитель r, имеем z = r(cos φ + i sin φ). Знаки a и b определяют четверть, в которой лежит точка, а значит, помогают выбрать подходящий угол: одинаковые значения тангенса могут соответствовать углам в разных четвертях.

Для ненулевого числа точка не совпадает с началом координат, поэтому r > 0 и её радиус-вектор имеет направление. Поворот на полный круг не меняет конечное положение вектора, поэтому к одному аргументу можно прибавить 2πk при любом целом k. Из-за этого тригонометрическую форму одного и того же числа можно записать с разными аргументами.

У нуля обе координаты равны нулю, и модуль тоже равен нулю. Но нулевой вектор не указывает ни на одно направление, поэтому аргумент для нуля не определяют. Именно поэтому стандартное определение тригонометрической формы с аргументом относится к ненулевым комплексным числам.

Связь алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа

Чтобы перейти из алгебраической формы в тригонометрическую, найдите r и подберите угол по координатам, обязательно учитывая четверть. При обратном переходе вычислите косинус и синус, а затем умножьте их на r. Таблица показывает, что обе формы описывают одни и те же координаты, только разными способами.

Разбор задач

Представить число z = 3 + 3i в тригонометрической форме

1. Здесь a = 3 и b = 3. Находим модуль: r = √(3² + 3²) = √18 = 3√2.
2. Обе координаты положительны, значит, точка находится в первой четверти. Отношения a/r и b/r равны 1/√2, поэтому cos φ = sin φ = √2/2.
3. В первой четверти этим значениям соответствует угол φ = π/4. Подставляем r и φ в тригонометрическую форму.

Ответ: z = 3√2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Можно прибавить к аргументу 2πk, где k ∈ Z: это даст другую запись того же числа.

Представить число z = −1 − √3i в тригонометрической форме, указав один из его аргументов

1. Действительная часть a = −1, мнимая часть b = −√3. Модуль равен r = √(1 + 3) = 2.
2. Обе координаты отрицательны, поэтому точка лежит в третьей четверти. Для угла с опорным углом π/3 значения косинуса и синуса по модулю равны 1/2 и √3/2.
3. В третьей четверти подходит φ = 4π/3: cos φ = −1/2, sin φ = −√3/2. Проверяем: r cos φ = −1, r sin φ = −√3.

Ответ: z = 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3)). Это один из аргументов числа; к нему можно прибавить 2πk.

Найти алгебраическую форму числа z = 4(cos(5π/6) + i sin(5π/6))

1. Сравниваем запись с формулой z = r(cos φ + i sin φ): модуль r = 4, аргумент φ = 5π/6. Этот угол находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен.
2. Вычисляем cos(5π/6) = −√3/2 и sin(5π/6) = 1/2. Тогда действительная часть a = 4 · (−√3/2) = −2√3, а мнимая часть b = 4 · 1/2 = 2.
3. Собираем действительную и мнимую части в форму a + bi. Знак перед мнимой частью положительный, поскольку синус угла положителен.

Ответ: z = −2√3 + 2i.

Типичные ошибки

• Модуль иногда ошибочно находят как a + b или |a| + |b|. Так происходит, если не учитывать, что модуль — это длина, а для неё применяется теорема Пифагора. Проверьте вычисление по формуле √(a² + b²) и убедитесь, что полученное число неотрицательно.

• Определение аргумента только по тангенсу b/a может привести не в ту четверть. Тангенс повторяет значения в разных четвертях и сам по себе не сообщает знаки координат. Проверьте знаки a и b и только потом выбирайте угол.

• Аргумент иногда принимают за единственное число, потому что в ответе часто указывают один угол. Но полный оборот не меняет направления, поэтому φ и φ + 2πk задают один аргументируемый вектор. Для проверки прибавьте 2π и убедитесь, что косинус и синус не изменились.

• Нулю иногда приписывают аргумент 0, смешивая удобную условность с определением. У точки (0; 0) нет направления, поскольку её радиус-вектор имеет нулевую длину. Проверьте себя: при r = 0 координаты будут нулевыми при любом угле, значит, угол нельзя определить по точке.

Связь с другими темами

Для работы с тригонометрической формой нужно уметь записывать комплексные числа как a + bi и изображать их точками на координатной плоскости. Также понадобятся теорема Пифагора для нахождения длины радиус-вектора и знания значений синуса и косинуса углов. Эти умения позволяют переходить между координатами числа и его модулем с аргументом.

Тригонометрическая форма особенно удобна в дальнейших действиях с комплексными числами. При умножении и делении проще работать с модулями и аргументами, а возведение в степень и извлечение корней также опираются на эту запись. Поэтому понимание перехода между формами станет основой для следующих тем.

Что запомнить

• Для z = a + bi модуль равен √(a² + b²).
• В тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ).
• Для ненулевого числа r > 0.
• Координаты связаны с параметрами формы равенствами a = r cos φ и b = r sin φ.
• Аргументы одного ненулевого числа отличаются на 2πk, где k ∈ Z.
• У нуля аргумент не определён.