"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Комплексное число a + bi можно представить точкой (a; b) на плоскости: действительная часть задаёт горизонтальную координату, а коэффициент при i — вертикальную. Такое изображение помогает увидеть модуль как длину радиус-вектора, аргумент как его направление, а сложение — как сложение векторов. Геометрическая модель также наглядно показывает связь числа с сопряжённым и подготавливает к записи в тригонометрической форме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексная плоскость — плоскость, где действительную часть числа откладывают по горизонтальной оси, а коэффициент при мнимой единице — по вертикальной. Горизонтальную ось называют действительной, вертикальную — мнимой. Такое расположение позволяет использовать привычные координаты точек для записи комплексных чисел. Поэтому выражение a + bi связывают с координатами a и b.
Изображение комплексного числа z = a + bi — это точка с координатами (a; b) или радиус-вектор этой точки, то есть вектор из начала координат. Первая координата всегда равна действительной части, вторая — коэффициенту при i. Например, точке (2; −1) соответствует число 2 − i. Это правило помогает переводить алгебраическую запись в геометрическую и обратно.
Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до изображения числа; его обозначают |z| и находят по формуле |z| = √(a² + b²). В прямоугольном треугольнике с катетами a и b это расстояние является длиной гипотенузы. Модуль неотрицателен и равен нулю только для числа 0. С его помощью измеряют длину радиус-вектора независимо от его направления.
Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором числа. Для z ≠ 0 он задаёт направление этого вектора и определяется с точностью до 2π: если один аргумент равен φ, то все имеют вид φ + 2πk, где k ∈ Z. Полный оборот не меняет направления, поэтому получаются разные значения угла для одного и того же числа. У нуля аргумента нет, поскольку его радиус-вектор не задаёт направления.
Комплексное число a + bi состоит из двух действительных компонентов: a и b. Поэтому ему можно сопоставить упорядоченную пару (a; b), а пара задаёт ровно одну точку на координатной плоскости. Обратно, у каждой точки есть единственные горизонтальная и вертикальная координаты, значит, ей соответствует одно число. Такая взаимно однозначная связь и позволяет рассматривать комплексные числа геометрически.
Пусть z₁ = a + bi и z₂ = c + di. При сложении их действительные части объединяются между собой, как и коэффициенты при i: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i. На плоскости это означает сложение векторов по координатам: горизонтальные перемещения дают общую горизонтальную координату, вертикальные — общую вертикальную. Именно поэтому сумму можно построить правилом параллелограмма или последовательным переносом радиус-векторов.
Изображение z = a + bi имеет координаты (a; b), поэтому вместе с началом координат образует прямоугольный треугольник. Длины его катетов равны |a| и |b|, а длина радиус-вектора — гипотенуза. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, откуда |z| = √(a² + b²). Формула сохраняет смысл и тогда, когда одна из координат отрицательна: длины катетов всё равно неотрицательны.
Аргумент описывает не длину, а направление радиус-вектора: его отсчитывают от положительного направления действительной оси. Координаты позволяют определить, в какой четверти лежит точка, и выбрать подходящий угол; одной лишь формулы для тангенса недостаточно, потому что одинаковое значение тангенса встречается в разных четвертях. Если к углу прибавить полный оборот 2π или несколько оборотов, конечный луч останется тем же. Поэтому все аргументы ненулевого числа записываются как φ + 2πk, где k — целое число.
Сопряжённому числу z̄ = a − bi соответствуют координаты (a; −b), тогда как у исходного числа координаты (a; b). При отражении относительно горизонтальной оси первая координата не меняется, а вторая меняет знак. Поэтому точки, изображающие число и его сопряжённое, симметричны относительно действительной оси. Если число действительное, b = 0, и отражение оставляет его изображение на месте.
| Что рассматриваем | Алгебраическая запись | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Сопряжённое число | z̄ = a − bi | Отражение точки относительно действительной оси |
Чтобы построить сопряжённое число, сначала запиши координаты исходной точки, а затем поменяй знак только у второй координаты. Таблица показывает, что в алгебраической записи это означает смену знака у мнимой части. Действительная часть и расстояние от начала координат при отражении сохраняются.
В записи a + bi координатами точки служат a и b именно в этом порядке. Поэтому для каждого числа нужно отдельно определить действительную часть и коэффициент при i, после чего отложить их по горизонтальной и вертикальной осям. Знаки координат укажут, в какой четверти расположится точка. Радиус-вектор проводят из начала координат к полученной точке.
Ответ: z₁ изображается точкой (3; 2), z₂ — точкой (−1; −3).
Сначала определим координаты изображения: действительная часть равна −1, мнимая — √3. Значит, точка лежит во второй четверти, поскольку первая координата отрицательна, а вторая положительна. Затем найдём длину радиус-вектора и подберём угол, соответствующий координатам и этой четверти. После этого запишем все углы, учитывая полные обороты.
Ответ: |z| = 2; один аргумент — 2π/3; все аргументы — 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Сначала каждой записи сопоставим точку и отметим её на плоскости. Чтобы найти сумму, сложим отдельно действительные координаты и отдельно коэффициенты при i; геометрически это даст конец суммы радиус-векторов. Для сопряжённого числа z₁ оставим первую координату прежней, а вторую отразим относительно действительной оси. Так можно проверить и вычисления, и построения.
Ответ: сумма изображается точкой (4; 1), а сопряжённое число z̄₁ = 1 − 2i — точкой (1; −2).
Первая ошибка — поменять местами действительную и мнимую части и построить a + bi как точку (b; a). Так бывает, если воспринимать запись как произвольную пару, хотя координаты идут в заданном порядке. Проверь себя: сначала двигайся по горизонтали на a, затем по вертикали на b. Для числа 3 + 2i правильна точка (3; 2), а не (2; 3).
Вторая ошибка — считать модулем сумму |a| + |b|. Это происходит из-за попытки сложить величины координат, но расстояние до точки — диагональ, а не путь вдоль осей. Применяй теорему Пифагора: |z| = √(a² + b²). Например, для 3 + 4i модуль равен 5, а не 7.
Третья ошибка — указать для ненулевого числа только один аргумент. Выбранный угол действительно задаёт направление, но тот же луч получается после любого целого числа полных оборотов. Поэтому записывай φ + 2πk, k ∈ Z, и не забывай указать выбранный аргумент φ. Проверка проста: поворот на 2π не изменяет конечный луч.
Четвёртая ошибка — приписать аргумент нулю. У точки (0; 0) нет ненулевого радиус-вектора, а значит, невозможно определить его направление. Не пытайся применять к нулю правило для ненулевых чисел: аргумент определён только при z ≠ 0. Если точка совпала с началом координат, аргумента у неё нет.
Для работы с комплексной плоскостью нужны координаты точек, понятие радиус-вектора, расстояние между точками и теорема Пифагора. Они объясняют, как строить число, находить его модуль и понимать направление. Геометрическое представление связывает алгебраические операции с действиями над векторами. Оно также помогает понимать модуль и аргумент при переходе к тригонометрической форме комплексного числа.
Почему комплексное число изображают точкой на плоскости?
Комплексное число a + bi определяется двумя действительными числами: a и b. Поэтому его удобно сопоставить точке с координатами (a; b), как на обычной координатной плоскости.
Как по точке определить комплексное число?
Считайте горизонтальную координату действительной частью a, а вертикальную — коэффициентом b при мнимой единице. Тогда точке (a; b) соответствует число a + bi.
Почему модуль комплексного числа вычисляют по теореме Пифагора?
Точка (a; b) и начало координат образуют прямоугольный треугольник с катетами длины |a| и |b|. Расстояние до точки — гипотенуза, поэтому |a + bi| = √(a² + b²).
Почему у одного комплексного числа может быть несколько аргументов?
Угол можно увеличить или уменьшить на полный оборот, 2π, и направление радиус-вектора не изменится. Поэтому аргументы ненулевого числа имеют вид φ + 2πk, где k ∈ Z.
Как на комплексной плоскости построить сопряжённое число?
Оставьте действительную координату точки прежней, а знак вертикальной координаты измените на противоположный. Полученная точка будет зеркальным отражением исходной относительно действительной оси.
5.4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
