"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому уравнение x² = −a при a > 0 не имеет действительных решений. Чтобы записывать его корни, вводят мнимую единицу i, для которой i² = −1. Тогда √(−a) = i√a, а уравнение имеет два решения: x = ±i√a. Числа вида a + bi образуют расширенную систему — комплексные числа, которая позволяет работать с корнями отрицательных чисел и решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мнимая единица i — число, для которого i² = −1. Среди действительных чисел такого числа нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Обозначение i позволяет записывать корни, которые нельзя представить действительными числами.
Квадратный корень из отрицательного числа — число, квадрат которого равен этому отрицательному числу. Если a > 0, то уравнение x² = −a имеет корни ±i√a, поскольку квадрат каждого из этих чисел равен −a. Так можно находить решения уравнений, не имеющих действительных корней.
Мнимое число — число вида bi, где b — действительное число. При b ≠ 0 оно не является действительным, так как содержит множитель i. Эта запись помогает кратко выражать корни отрицательных чисел.
Комплексное число — число вида a + bi, где a и b — действительные числа. Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью комплексного числа. Эти две составляющие позволяют записывать числа, объединяющие действительную и мнимую части.
В действительных числах квадрат не может быть отрицательным: произведение числа на себя либо равно нулю, либо положительно. Поэтому уравнение x² = −a при a > 0 не имеет решения среди действительных чисел. Это не означает, что запись бессмысленна: она показывает границу возможностей действительной числовой системы.
Чтобы получить решения такого уравнения, вводят новое число i с условием i² = −1. Тогда можно перемножать и возводить в квадрат выражения с i, используя это равенство. Например, (i√a)² = i²(√a)² = −a. Так расширяют числовую систему и получают запись корней отрицательных чисел.
При a > 0 отрицательный множитель под корнем можно представить как произведение −1 и a: √(−a) = √(−1)·√a = i√a. Здесь √a — обычный неотрицательный действительный корень, а i представляет корень из −1. Символ √ обозначает одно выбранное значение корня, поэтому √(−a) = i√a, без знака ±. Знак ± появляется, когда ищут все решения уравнения x² = −a: их два, i√a и −i√a.
Для конкретного отрицательного числа сначала выделяют его модуль, то есть положительное число под знаком корня, а затем умножают его корень на i. Например, для числа −25 получаем 5i, а не просто 5: квадрат 5 был бы положительным. Проверка возведением в квадрат подтверждает результат, потому что (5i)² = 25i² = −25.
Мнимые числа входят в более общий вид a + bi. Действительная часть здесь равна a, а мнимая часть — именно коэффициент b при i, не всё слагаемое bi. Например, в записи 4 − 3i действительная часть равна 4, а мнимая — −3. Такая форма объединяет действительную и мнимую составляющие и позволяет выполнять дальнейшие действия с комплексными числами.
| Что рассматриваем | Запись | Результат или смысл |
|---|---|---|
| Мнимая единица | i² = −1 | Основа для записи корней отрицательных чисел |
| Квадратный корень из −a при a > 0 | √(−a) | i√a |
| Решения уравнения x² = −a при a > 0 | x² = −a | x = ±i√a |
| Мнимое число | bi | b — действительное число |
| Комплексное число | a + bi | a — действительная часть, b — мнимая часть |
Пользуйся таблицей, чтобы различать значение квадратного корня и оба решения уравнения: в первой записи нет ±, во второй оно есть. Для проверки найденного корня возведи его в квадрат и замени i² на −1. В записи комплексного числа определяй мнимую часть как коэффициент при i.
Нужно отделить отрицательный знак под корнем и применить правило для √(−a). Подкоренное положительное число равно 25, поэтому его корень можно найти в действительных числах. Полученное значение умножаем на i.
Ответ: √(−25) = 5i.
Здесь нужно найти не одно значение квадратного корня, а все числа, квадрат которых равен −16. Для уравнения x² = −a корни записываются с двумя знаками. После этого проверим оба числа отдельно, помня, что i² = −1.
Ответ: x = ±4i.
Сначала нужно оставить x² в одной части уравнения, а затем разделить на его коэффициент 3. Так мы приведём уравнение к виду x² = −a, для которого уже известна формула корней. В конце перечислим оба решения.
Ответ: x = 3i или x = −3i.
Ошибка: писать √(−a) = ±i√a. Так путают одно значение корня с двумя решениями уравнения: знак ± нужен для x² = −a, а не для обозначения корня. Проверка — подставить запись в выражение и вспомнить, что корень обозначает одно значение. Поэтому √(−a) = i√a.
Ошибка: забывать i и записывать √(−a) = √a. Так происходит, если оставить только модуль числа и потерять множитель, отвечающий за отрицательный знак. Проверка — возвести ответ в квадрат: (√a)² = a, а нужно получить −a. Множитель i даёт нужный знак, потому что i² = −1.
Ошибка: считать i положительным или отрицательным действительным числом. Число i не расположено среди действительных чисел, так как его квадрат отрицателен, тогда как квадраты действительных чисел неотрицательны. Чтобы проверить рассуждение, сравни его с равенством i² = −1. Не присваивай i знак «плюс» или «минус» на действительной числовой прямой.
Ошибка: называть мнимой частью комплексного числа a + bi всё слагаемое bi. Это смешивает коэффициент и член записи, потому что i уже явно вынесена множителем. Проверка: приведи число к виду a + bi и прочитай коэффициент при i. Например, у 2 − 5i мнимая часть равна −5, а слагаемое равно −5i.
Для этой темы нужны навыки извлечения квадратного корня из неотрицательного числа, преобразования выражений со степенями и решения квадратных уравнений. В частности, важно уметь переносить слагаемые и делить обе части уравнения на ненулевой коэффициент. Эти действия помогают привести уравнение к виду x² = −a.
Мнимая единица становится основой дальнейшего изучения комплексных чисел и действий с выражениями вида a + bi. Такие числа позволяют решать квадратные уравнения, у которых дискриминант отрицателен и нет действительных корней. Поэтому навык извлекать корень из отрицательного числа нужен не только для отдельных примеров, но и для общего метода решения уравнений.
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: если x — действительное, то x² ≥ 0. Поэтому не существует действительного x, квадрат которого равен отрицательному числу.
Что означает буква i?
Буква i обозначает мнимую единицу, определённую равенством i² = −1. Она не является действительным числом, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Чему равно √(−9)?
По формуле √(−a) = i√a при a > 0 получаем √(−9) = i√9 = 3i. Это значение квадратного корня; уравнение x² = −9 имеет два решения: 3i и −3i.
Почему уравнение x² = −9 имеет два корня?
Числа 3i и −3i при возведении в квадрат дают −9: (3i)² = 9i² = −9 и (−3i)² = 9i² = −9. Они отличаются знаком, поэтому у уравнения два решения.
Чем отличается мнимое число от комплексного?
Мнимое число имеет вид bi, где b — действительное число. Комплексное число имеет вид a + bi и включает действительную часть a; мнимое число можно считать частным случаем комплексного при a = 0.
5.3. Квадратные корни из отрицательных чисел
