5.2. Вычитание и деление комплексных чисел

Определения и обозначения

Пусть z₁ = a + bi и z₂ = c + di. Их разность определяют так: z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i. Иными словами, из действительной части первого числа вычитают действительную часть второго, а из коэффициента при i — соответствующий коэффициент второго. Такое правило сохраняет привычную запись комплексного числа a + bi.

Для числа z = a + bi сопряжённым называют число z̄ = a − bi. Действительная часть остаётся прежней, а знак мнимой части меняется на противоположный. Сопряжение особенно полезно при делении: произведение числа и его сопряжённого равно a² + b² и не содержит i.

Частное комплексных чисел — результат деления z₁ на z₂, когда z₂ ≠ 0. Его также можно представить в виде x + yi, где x и y — действительные числа. Такая запись нужна, чтобы ответ оставался в алгебраической форме и его можно было сравнивать с другими комплексными числами.

Как это устроено

Комплексное число можно рассматривать как пару действительных координат: a + bi соответствует паре (a, b). При сложении и вычитании пары координат обрабатываются отдельно, поэтому из действительной части вычитают действительную, а из мнимой — мнимую. Буква i здесь служит общим множителем при мнимых частях: b i − d i = (b − d)i. Например, нельзя вычитать только коэффициенты, забыв о знаке перед вторым слагаемым.

Обычное деление комплексных чисел приводит к дроби, в знаменателе которой есть i. Чтобы убрать его, умножают дробь на единицу, записанную как отношение сопряжённого к знаменателю числа к самому себе. Числитель и знаменатель умножаются на одно и то же, поэтому значение дроби не меняется. Сопряжённое выбрано не случайно: именно оно устраняет мнимую часть в знаменателе.

Пусть знаменатель равен c + di, тогда сопряжённое к нему число — c − di. При перемножении получаем (c + di)(c − di) = c² − (di)²: слагаемые −cdi и +cdi сокращаются. Так как (di)² = d²i² = −d², знаменатель становится c² + d². Это число действительное и неотрицательное, а при ненулевом знаменателе — положительное.

Для z₁ = a + bi и z₂ = c + di умножение дроби на c − di даёт числитель (a + bi)(c − di). После раскрытия скобок его действительная часть равна ac + bd, а коэффициент при i — bc − ad. Поэтому (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i)/(c² + d²), если c² + d² ≠ 0. Чтобы получить вид x + yi, можно разделить каждую часть числителя на общий действительный знаменатель.

Знаменатель c² + d² обращается в ноль только тогда, когда оба квадрата равны нулю, то есть c = 0 и d = 0. В этом случае c + di = 0, а деление на ноль не определено. Если хотя бы одно из чисел c или d отлично от нуля, сумма их квадратов положительна и формулу деления применять можно. Поэтому условие ненулевого делителя одновременно гарантирует, что преобразованный знаменатель не равен нулю.

Вычитание и деление комплексных чисел

Сравнивайте действия по строкам: таблица показывает, при каком условии каждое из них допустимо и как получить ответ. В строке о сопряжённом указано, где оно участвует в делении и почему при вычитании не требуется. Для проверки деления перемножьте результат и делитель, а для вычитания сложите разность со вторым числом.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (5 − 2i) − (1 + 3i). При вычитании второго комплексного числа важно учесть знак минус перед всей скобкой: он меняет знаки и у 1, и у 3i. После раскрытия скобок отдельно соберём действительную и мнимую части.

1. Запишем разность без скобок: 5 − 2i − 1 − 3i.
2. Вычтем действительные части: 5 − 1 = 4. Коэффициенты при i дают −2 − 3 = −5.
3. Объединим части в алгебраическую форму: 4 − 5i.

Ответ: 4 − 5i. Проверка: прибавим вычитаемое, (4 − 5i) + (1 + 3i) = 5 − 2i, то есть получим исходное уменьшаемое.

Задача 2. Вычислите (3 + 2i)/(1 − i). В знаменателе есть мнимая часть, поэтому умножим дробь на сопряжённое к 1 − i число, то есть на 1 + i. Умножать нужно и числитель, и знаменатель: так значение дроби сохраняется, а знаменатель становится действительным.

1. Умножим дробь на (1 + i)/(1 + i): получим ((3 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)).
2. Раскроем скобки в числителе: 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i, поскольку i² = −1.
3. В знаменателе смешанные слагаемые сократятся: 1 − i² = 2. Значит, частное равно (1 + 5i)/2 = ½ + 5/2i.

Ответ: ½ + 5/2i. Проверка умножением: (½ + 5/2i)(1 − i) = 3 + 2i.

Задача 3. Найдите z, если (2 − i)/z = 1 + i. В равенстве неизвестно число в знаменателе, но сначала можно убрать деление, умножив обе части на z. Поскольку z стоит в знаменателе исходного выражения, отдельно учитываем условие z ≠ 0.

1. Умножим равенство на z: 2 − i = z(1 + i).
2. Разделим обе части на 1 + i: z = (2 − i)/(1 + i). Делитель ненулевой, поэтому это действие допустимо.
3. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое 1 − i: z = ((2 − i)(1 − i))/2 = (1 − 3i)/2.

Ответ: z = ½ − 3/2i. Это число не равно нулю; подстановка в исходное равенство даёт 1 + i.

Типичные ошибки

При вычитании иногда раскрывают скобки, но не меняют знаки у слагаемых второго числа. Так происходит, если минус перед скобкой воспринимают как относящийся только к первому члену. Раскрывайте его перед каждым слагаемым: например, −(1 + 3i) = −1 − 3i. Проверка сложением разности и вычитаемого должна вернуть исходное число.

При делении можно умножить на сопряжённое только числитель или только знаменатель. Это меняет значение дроби, потому что равносильное преобразование требует умножать обе части на один и тот же множитель. Записывайте множитель в виде дроби, равной единице, например (c − di)/(c − di), и проверьте, что он присутствует и сверху, и снизу.

Ещё одна ошибка — считать i² равным 1. Тогда в произведении сопряжённых чисел появится неверный знак, хотя по определению мнимой единицы i² = −1. Подставляйте это равенство сразу после раскрытия скобок и проверяйте знаменатель на простом примере: (1 + i)(1 − i) = 2.

Нельзя применять формулу деления, не проверив делитель. Если c = d = 0, выражение c² + d² равно нулю, и деление невозможно. Ошибку допускают, когда механически подставляют числа в формулу, не проверяя условие; сначала установите, что делитель не равен нулю. В остальных случаях сумма квадратов положительна.

Связь с другими темами

Для вычитания и деления нужны алгебраическая форма комплексного числа, правило равенства комплексных чисел и соотношение i² = −1. Без него нельзя правильно раскрыть скобки и упростить произведение сопряжённых чисел. Также пригодятся действия с действительными числами и преобразование дробей: при делении комплексных чисел дробь умножают на специальную форму единицы. Полученные правила используют при решении уравнений с комплексными коэффициентами и при переходе к другим формам записи комплексного числа.

Что запомнить

• При вычитании комплексных чисел действительные и мнимые части вычитают отдельно.
• Сопряжённое к a + bi число — a − bi.
• Произведение числа на сопряжённое равно a² + b².
• Чтобы разделить комплексные числа, числитель и знаменатель умножают на сопряжённое знаменателю.
• Делить можно только на ненулевое комплексное число.
• Результат вычитания или деления записывают в виде a + bi.