5.1. Основные определения. Сложение и умножение комплексных чисел

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Число a называют действительной частью, а bi — мнимой частью записи. Такой вид удобен тем, что позволяет записывать и вычислять выражения, которые нельзя представить только действительными числами.

Мнимая единица i — число, для которого выполняется равенство i² = −1. Это специальное обозначение вводят потому, что квадрат любого действительного числа неотрицателен и потому не может быть равен −1. Правило для i особенно важно при умножении комплексных чисел.

Действительная и мнимая части комплексного числа a + bi — соответственно числа a и b; их обозначают Re z и Im z. Например, если z = 4 − 3i, то Re z = 4, а Im z = −3. Обозначения помогают точно указать, какую часть числа сравнивают или вычисляют.

Равные комплексные числа — числа, у которых равны действительные части и равны мнимые части. Поэтому a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Это правило превращает сравнение комплексных чисел в две отдельные проверки равенства действительных чисел.

Как это устроено

Запись a + bi нужна, чтобы расширить привычные действительные числа, не отказываясь от обычных правил алгебры. Действительная часть a задаёт знакомую числовую составляющую, а коэффициент b показывает, сколько раз в выражении встречается i. Например, число 2 + 3i нельзя свести к одному действительному числу, но его можно складывать и умножать по чётким правилам. Благодаря этому становятся возможны вычисления с корнями из отрицательных чисел и решения задач, у которых нет действительного ответа.

При сложении группируют слагаемые одного вида: действительные числа складывают между собой, а слагаемые с i — отдельно. Это работает потому, что сложение можно переставлять и группировать, а i в обоих комплексных числах обозначает одно и то же число. Так, a + bi + c + di можно перегруппировать в (a + c) + (b + d)i. Смешивать a и d нельзя: они относятся к разным составляющим записи.

При умножении используют распределительный закон, как и для выражений со скобками в обычной алгебре. После раскрытия скобок возникает произведение i на i, то есть i². Его необходимо заменить на −1 по определению мнимой единицы, иначе выражение останется не приведённым к стандартному виду. Именно эта замена переводит часть произведения обратно в действительную составляющую.

Раскроем произведение (a + bi)(c + di): получим ac + adi + bci + bdi². Подставляя i² = −1, имеем ac + adi + bci − bd. Теперь группируем действительные слагаемые ac и −bd, а слагаемые с i — adi и bci. В результате получаем формулу (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

После сложения или умножения результат следует привести к виду x + yi. Затем отдельно проверяют действительную часть x и коэффициент y при i: именно их нужно получить из соответствующих слагаемых. При умножении полезно убедиться, что учтены все четыре произведения из раскрытия скобок и что знак члена с i² изменён. Такая проверка помогает обнаружить ошибки в знаках и в группировке слагаемых.

Запись и действия с комплексными числами

Сначала приведите каждое число к виду a + bi, чтобы увидеть две составляющие. Для сложения применяйте правило к частям одного вида, а для умножения выбирайте формулу или раскрывайте скобки. В конце проверьте, что ответ записан как действительная часть плюс коэффициент при i.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (3 − 2i) + (1 + 5i).

1. Выделим действительные части: это 3 и 1, их сумма равна 4.
2. Теперь сложим коэффициенты при i: −2 + 5 = 3, значит, мнимая составляющая равна 3i.
3. Запишем результат в стандартном виде: 4 + 3i. Мы не складывали 3 с 5 или −2 с 1, потому что слагаемые принадлежат разным частям.

Ответ: 4 + 3i.

Задача 2. Вычислите (2 + 3i)(1 − 4i).

1. Раскроем скобки по распределительному закону: 2 · 1 + 2 · (−4i) + 3i · 1 + 3i · (−4i).
2. Выполним умножение: 2 − 8i + 3i − 12i². Появившийся член i² заменим на −1, поэтому −12i² = 12.
3. Сложим действительные части 2 и 12, а мнимые −8i и 3i: получим 14 − 5i. Такая группировка показывает, откуда взялась каждая часть результата.

Ответ: 14 − 5i.

Задача 3. Упростите выражение (1 + 2i)² + (3 − i)(2 + i) и запишите ответ в виде a + bi.

1. В первом слагаемом раскроем квадрат: (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = −3 + 4i, так как 4i² = −4.
2. Во втором слагаемом раскроем скобки: (3 − i)(2 + i) = 6 + 3i − 2i − i². Поскольку −i² = 1, получим 7 + i.
3. Сложим результаты по частям: (−3 + 7) + (4i + i) = 4 + 5i. Проверка показывает, что ответ содержит отдельно действительную часть и коэффициент при i.

Ответ: 4 + 5i.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать действительную часть одного числа с мнимой частью другого, например a с di. Так поступают, когда воспринимают запись как набор коэффициентов, не учитывая, что слагаемые имеют разный вид. Сгруппируйте отдельно числа без i и коэффициенты при i, а затем проверьте, что в результате сохранилась форма x + yi.

Ошибка: считать i² равным 1 или оставлять i² в итоговом ответе. Знак легко перепутать, потому что квадрат привычных действительных чисел положителен, но для мнимой единицы действует отдельное определение. При каждом появлении i² сразу подставляйте −1 и проверьте, изменился ли знак соответствующего слагаемого.

Ошибка: при умножении забыть одно из перекрёстных произведений или неверно раскрыть скобки. Это часто случается, когда перемножают только первые и последние члены, как будто перед ними стоят одинаковые множители. Выпишите все четыре произведения по распределительному закону и сверьте их с исходными слагаемыми.

Ошибка: считать комплексные числа равными только по совпадению действительных частей. Совпадение одной составляющей ещё не гарантирует равенства всего числа, поскольку коэффициент при i может отличаться. Сравните обе пары частей: числа равны лишь при равенстве действительных частей и равенстве коэффициентов при i.

Связь с другими темами

Для вычислений с комплексными числами нужны навыки действий с действительными числами, раскрытия скобок и применения распределительного закона умножения. Если уверенно группировать подобные слагаемые и соблюдать знаки, правила для выражений с i становятся продолжением знакомой алгебры. При этом новое соотношение i² = −1 задаёт особый шаг, которого нет в обычных вычислениях с действительными числами.

Комплексные числа пригодятся при решении квадратных уравнений, у которых нет действительных корней, и в дальнейшем изучении алгебры. Они позволяют рассматривать решения таких уравнений в более широком множестве чисел. Правила сложения и умножения дают основу для последующих действий с комплексными выражениями.

Что запомнить

• Комплексное число имеет вид a + bi.
• Для мнимой единицы выполняется i² = −1.
• При сложении отдельно складывают действительные и мнимые части.
• При умножении раскрывают скобки и заменяют i² на −1.
• Равные комплексные числа имеют равные действительные части и равные мнимые части.