4.4. Вычисление простейших вероятностей

Определения и обозначения

Элементарный исход — один из возможных результатов случайного опыта. Событие состоит в том, что наступает некоторый исход или набор исходов. Например, при броске кубика элементарными исходами служат числа от 1 до 6, а событие «выпало чётное число» объединяет три из них. Такое описание помогает точно понять, какие результаты нужно учитывать.

Равновозможные исходы — исходы с одинаковыми шансами наступить. Классическое вычисление вероятности используют, когда число таких исходов конечно. Равные шансы нужны потому, что тогда каждый исход вносит одинаковую долю в вероятность. Если один результат вероятнее другого, простого подсчёта исходов недостаточно.

Благоприятные исходы события — исходы, при наступлении которых событие происходит. Например, для события «на кубике выпало больше 4» благоприятны исходы 5 и 6. Подсчёт этих исходов показывает, какая часть всех возможных результатов удовлетворяет условию. Поэтому важно сначала точно перевести условие задачи на язык исходов.

Вероятность события A при равновозможных исходах — отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: P(A) = m/n. Здесь n обозначает число всех исходов, а m — число исходов, благоприятных событию A. Формула превращает подсчёт результатов в число от 0 до 1. Она применяется только при конечном числе равновозможных исходов.

Как это устроено

Сначала описывают все возможные исходы опыта. Это нужно, чтобы установить, какие результаты вообще могут произойти и не потерялся ли какой-нибудь из них при рассуждении. Затем проверяют, что список конечен: классическая формула сравнивает количества исходов, поэтому бесконечный набор так подсчитать нельзя. Наконец, выясняют, равны ли шансы исходов; без этого простое отношение их количества может дать неверный ответ.

Общее число исходов n и число благоприятных исходов m находят по одному и тому же описанию опыта. Можно составить список, таблицу или использовать упорядоченный подсчёт, если исходов много. Чтобы не пропустить результат, проверяют, что перечислены все варианты; чтобы не сосчитать его дважды, следят, чтобы варианты не повторялись. Особенно внимательно нужно считать исходы, описанные сразу несколькими условиями.

Формула P(A) = m/n работает потому, что при равных шансах каждый исход имеет одинаковую долю вероятности. Если всего исходов n, то на каждый приходится одна такая доля, а событие A охватывает m долей. Поэтому вероятность равна отношению m к n. Например, если из восьми равновозможных результатов событию подходят два, его вероятность составляет 2/8, то есть 1/4.

Границы вероятности следуют из смысла подсчёта. Число благоприятных исходов не может быть отрицательным, а превысить общее число исходов оно тоже не может: 0 ≤ m ≤ n. Если событие невозможно, ему не подходит ни один исход, то есть m = 0 и P(A) = 0. Если событие достоверно, подходят все исходы, m = n и P(A) = 1.

В задачах с монетой и кубиком обычно используют модель, в которой предметы правильные и все указанные результаты равновозможны. При случайном выборе одного предмета из набора равные шансы предполагаются, если каждый предмет выбирается одинаково вероятно. Это условие нужно проверить по формулировке, а не принимать автоматически: например, неравномерная монета может давать орла и решку с разными шансами. Только после выбора подходящей модели подсчёт m/n отражает вероятность события.

Элементы классического вычисления вероятности

Сначала найдите строку с общим числом исходов, затем отдельно определите, сколько из них подходят условию события. Подставьте полученные значения n и m в формулу, не меняя их местами. В конце проверьте, что результат находится между 0 и 1.

Разбор задач

Задача 1. Правильную монету подбрасывают один раз. Найдите вероятность выпадения орла. Слово «правильная» означает, что орёл и решка имеют одинаковые шансы, поэтому здесь подходит классическая формула.

1. Перечислим исходы: орёл и решка. Их два, следовательно, n = 2.
2. Выберем исход, благоприятный событию «выпал орёл»: это только орёл, поэтому m = 1.
3. Вычислим P(A) = m/n = 1/2. Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2.

Задача 2. Правильный игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, большее 4. Кубик правильный, значит, каждое из чисел от 1 до 6 равновозможно; условие о числе больше 4 выполняется только для некоторых из них.

1. Возможные исходы — числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому общее число исходов n = 6.
2. Числа, большие 4, — это 5 и 6. Значит, благоприятных исходов m = 2.
3. Подставим значения: P(A) = 2/6 = 1/3. Ответ: вероятность равна 1/3.

Задача 3. Из карточек с числами от 1 до 20 случайно выбирают одну. Найдите вероятность того, что число делится на 3 или на 5. Выбор каждой карточки предполагается равновероятным; слово «или» означает, что подходят числа хотя бы из одного из двух наборов.

1. Всего карточек 20, поэтому n = 20. Кратные 3 в этом диапазоне: 3, 6, 9, 12, 15, 18 — всего 6; кратные 5: 5, 10, 15, 20 — всего 4.
2. Число 15 делится и на 3, и на 5, поэтому при сложении наборов оно было бы посчитано дважды. Вычтем один повтор: m = 6 + 4 − 1 = 9.
3. По формуле P(A) = 9/20. Ответ: вероятность выбрать число, делящееся на 3 или на 5, равна 9/20.

Типичные ошибки

Применять формулу без проверки равновозможности. Иногда считают, что раз исходы перечислены, их шансы автоматически одинаковы. Но, например, исходы неравномерной монеты могут быть неравновозможны, и отношение количеств тогда не даёт искомую вероятность. Проверьте по условию, что каждому исходу соответствует одинаковый шанс.

Неверно выделять благоприятные исходы. Ошибка возникает, если перепутать условие события или включить результат, при котором оно не происходит. Переформулируйте событие конкретно: какие именно результаты должны выпасть или быть выбраны? Затем сверяйте с этим условием каждый исход, а не полагайтесь на первое впечатление.

Пропускать исходы или считать их повторно. Такое бывает при длинных списках и при объединении нескольких наборов. Если часть результатов потеряна, неверны n или m; если один результат учтён дважды, количество окажется завышенным. Перечисляйте исходы систематически и отдельно проверяйте пересечения наборов.

Получать вероятность меньше 0 или больше 1. Это противоречит смыслу доли: благоприятных исходов не может быть меньше нуля или больше общего числа. Ошибку могут вызвать неверный подсчёт либо неправильное деление m на n. Перед записью ответа проверьте, что 0 ≤ m ≤ n и, значит, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для вычисления простейших вероятностей нужно уметь описывать случайный опыт, перечислять его исходы и подсчитывать конечные наборы объектов. Эти навыки помогают превратить словесное условие в точную модель, в которой ясно, что является одним исходом и какие результаты подходят событию. Ошибки в описании опыта нельзя исправить последующим вычислением.

Понятие вероятности станет основой для изучения операций над событиями, а также правил сложения и умножения вероятностей. Подсчёт исходов используется и в задачах статистики, где вероятностные ожидания сопоставляют с наблюдаемыми данными. Поэтому важно не только запомнить формулу, но и научиться обосновывать выбор исходов.

Что запомнить

• Классический способ применим к конечному набору равновозможных исходов.
• n — число всех возможных исходов.
• m — число исходов, благоприятных событию.
• P(A) = m/n.
• Вероятность невозможного события равна 0, достоверного — 1.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.