"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Тригонометрическая форма позволяет описывать комплексное число через его модуль и аргумент, а формула Муавра упрощает возведение такого числа в степень. Те же идеи помогают извлекать корни: нужно найти корень из модуля и учесть все возможные аргументы, отличающиеся на 2πk. У ненулевого числа получается ровно n корней, равномерно расположенных на окружности. Это полезно при вычислениях и решении уравнений с комплексными числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль числа, а φ — его аргумент. Модуль показывает расстояние от точки z до начала координат, а аргумент задаёт направление луча, на котором она лежит. Такая запись удобна для умножения, возведения в степень и извлечения корней.
Формула Муавра — правило возведения комплексного числа в тригонометрической форме в натуральную степень: если z = r(cos φ + i sin φ), то zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Иначе говоря, модуль возводится в степень, а аргумент умножается на неё. Формула заменяет многократное перемножение комплексных чисел более простым вычислением.
Корень n-й степени из комплексного числа — число w, для которого wⁿ = z. Если z ≠ 0, таких корней ровно n, и их можно найти по модулю и аргументу исходного числа. Это определение важно при решении уравнений, в которых неизвестное комплексное число возводится в степень.
Корни степени n из единицы — решения уравнения wⁿ = 1. Все они имеют модуль 1 и лежат на единичной окружности с центром в начале координат. Эти числа помогают описывать симметрию и находить корни других комплексных чисел.
Для z = a + bi модуль вычисляют по формуле r = √(a² + b²). Аргумент φ выбирают так, чтобы cos φ = a/r и sin φ = b/r, то есть чтобы точка с координатами (a, b) соответствовала этому углу. Один и тот же луч можно повернуть на целое число полных оборотов, поэтому аргументами одного числа служат φ + 2πk, где k ∈ Z. Это не разные числа, а разные записи одного направления.
Причина формулы Муавра видна из правила умножения в тригонометрической форме: при перемножении модулей расстояния масштабируются, а повороты складываются. Например, произведение двух чисел с аргументами α и β имеет аргумент α + β. Умножая число само на себя n раз, мы получаем модуль rⁿ и аргумент φ + … + φ = nφ. Так появляется формула zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ).
Пусть z = r(cos φ + i sin φ) и wⁿ = z. Если модуль w равен ρ, то по формуле Муавра модуль wⁿ равен ρⁿ, значит, ρ = r^(1/n). Аргумент w при умножении на n должен превратиться в один из аргументов z: nθ = φ + 2πk. Поэтому θ = (φ + 2πk)/n, а корни записываются как wₖ = r^(1/n)(cos θ + i sin θ). Деление на n необходимо применить и к аргументу, и извлечь корень n-й степени из модуля.
Не нужно перебирать все целые k: при замене k на k + n аргумент корня увеличивается на 2π, а это даёт то же самое число. Поэтому достаточно k = 0, 1, …, n − 1. Эти значения дают разные направления, поскольку углы соседних корней отличаются на 2π/n, а за один полный оборот получаются ровно n точек.
У ненулевого z все корни имеют одинаковый модуль r^(1/n), поэтому лежат на окружности с центром в начале координат. Их аргументы отличаются на равные промежутки 2π/n, и корни равномерно распределены по этой окружности. Для z = 0 рассуждение с аргументом неприменимо: уравнение wⁿ = 0 имеет только w = 0, поскольку модуль ненулевого числа при возведении в натуральную степень остаётся ненулевым.
| Случай | Запись | Что происходит с модулем и аргументом |
|---|---|---|
| Возведение в степень | zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ) | Модуль возводится в степень n, аргумент умножается на n. |
| Извлечение корней при z ≠ 0 | wₖ = r^(1/n)(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), k = 0, …, n − 1 | Из модуля извлекается корень n-й степени; аргументы делятся на n с учётом всех 2πk. |
| Корни степени n из единицы | wₖ = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n), k = 0, …, n − 1 | Модуль каждого корня равен 1, аргументы равномерно распределены по окружности. |
| Корень из нуля | wⁿ = 0 ⇔ w = 0 | Единственное решение — ноль; у него нет n различных корней. |
Сначала определите, ищете ли вы степень или корни: в первом случае умножают аргумент, во втором — делят его и учитывают 2πk. Для корней ненулевого числа отдельно извлекайте корень из модуля. Таблица также помогает проверить число решений и их геометрическое расположение.
Условие: записать z = 1 + i в тригонометрической форме и найти z⁴. У числа положительные действительная и мнимая части, поэтому точка находится в первой четверти. Это помогает выбрать аргумент без дополнительных поправок.
Ответ: z = √2(cos π/4 + i sin π/4), z⁴ = −4. Здесь модуль стал равен 4, а угол увеличился в четыре раза и составил π. Полученное значение совпадает с вычислением (1 + i)⁴.
Условие: найти все корни и изобразить их на комплексной плоскости. Число 8i имеет модуль 8 и аргумент π/2, а значит, корни будут иметь модуль 2. Подстановка трёх допустимых значений k позволит получить все направления.
Ответ: w = √3 + i, −√3 + i, −2i. Все точки лежат на окружности радиуса 2, а аргументы соседних корней отличаются на 2π/3. Это подтверждает, что корни равномерно распределены.
Условие: решить уравнение и записать корни в алгебраической форме. Число −16 расположено на отрицательной действительной полуоси, поэтому его аргумент равен π (с точностью до 2πk). Модуль каждого корня будет равен 2.
Ответ: √2 + i√2, −√2 + i√2, −√2 − i√2, √2 − i√2. В каждом случае модуль равен 2, а аргументы отличаются на π/2. Если возвести любое из этих чисел в четвёртую степень, получится модуль 16 и аргумент, соответствующий числу −16.
Учитывают только один аргумент и получают один корень. Так происходит, если забыть, что аргументы одного числа имеют вид φ + 2πk. Проверьте, выписаны ли значения k от 0 до n − 1: для ненулевого числа должно получиться n корней.
Перебирают все целые k, считая результаты разными. Но при увеличении k на n угол корня меняется на 2π, и число повторяется. Для проверки сравните аргументы по модулю 2π и оставьте только первые n значений.
Делят аргумент на n, но забывают извлечь корень n-й степени из модуля. Тогда найденные числа будут иметь неверное расстояние от начала координат. Подставьте корень в wⁿ = z: модуль результата должен стать равен модулю z.
Считают, что у нуля тоже n различных корней. Это ошибка переноса формулы для z ≠ 0: у нуля нельзя задавать аргумент так же, как у ненулевого числа. Проверьте непосредственно: единственное решение wⁿ = 0 — w = 0.
Для работы с формулой Муавра нужны алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, а также умение находить модуль и аргумент. Переход к тригонометрической форме опирается на координаты точки на комплексной плоскости, а правило для аргументов — на формулы умножения комплексных чисел. Полученные методы применяются при вычислении степеней и корней, решении алгебраических уравнений и изучении корней из единицы. Корни из единицы особенно наглядно показывают равномерное расположение решений на окружности.
Почему у ненулевого комплексного числа ровно n корней n-й степени?
Аргументы исходного числа можно записать как φ + 2πk, поэтому формула корней даёт n разных направлений при k = 0, 1, …, n − 1. При дальнейшем увеличении k направления начинают повторяться.
Зачем при извлечении корня добавлять к аргументу 2πk?
Аргумент комплексного числа определён не единственным образом: φ и φ + 2πk задают одно направление. После деления этих значений на n получаются разные аргументы корней, поэтому без 2πk часть решений потеряется.
Как понять, какие значения k нужно подставлять?
Достаточно взять k = 0, 1, …, n − 1. Эти значения дают все n различных корней, а при k = n и далее результаты повторяются.
Как расположены корни комплексного числа на плоскости?
Корни ненулевого числа лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным корню n-й степени из модуля исходного числа. Соседние корни разделены одинаковым углом 2π/n.
Сколько корней имеет уравнение wⁿ = 0?
У него один корень: w = 0. Если степень n натуральная, никакое ненулевое комплексное число при возведении в эту степень не даст ноль.
5.6. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел
