5.7. Свойства комплексных корней многочленов

Определения и обозначения

Сопряжённые комплексные числа — числа a + bi и a − bi, где a и b действительны, а i² = −1. При переходе к сопряжённому знак мнимой части меняется, а действительная часть a остаётся прежней. Например, сопряжённое к 3 − 2i число — 3 + 2i. Это обозначение понадобится, чтобы записывать пару корней, связанную с действительными коэффициентами.

Действительный многочлен — многочлен, все коэффициенты которого являются действительными числами. Например, P(x) = x³ + 2x − 1 — действительный многочлен. Такое условие существенно: именно оно позволяет применять к равенству P(z) = 0 комплексное сопряжение, не меняя коэффициенты. Поэтому сначала следует проверить коэффициенты, а уже затем делать вывод о сопряжённых корнях.

Комплексно-сопряжённые корни — пара корней a + bi и a − bi одного действительного многочлена. Если b ≠ 0, это два разных недействительных комплексных числа; их действительные части совпадают, а мнимые имеют противоположные знаки. Понятие помогает описывать корни не по одному, а парами. Если b = 0, число действительное и совпадает со своим сопряжённым.

Кратность корня — число повторений соответствующего линейного множителя в разложении многочлена. Если P(x) содержит множитель (x − z)ⁿ, но не содержит его в степени n + 1, то корень z имеет кратность n. Например, при множителе (x − 2)³ число 2 — корень кратности 3. Кратность нужна, чтобы правильно учитывать все корни многочлена и сравнивать сопряжённые корни.

Как это устроено

Пусть P(x) = cₙxⁿ + … + c₁x + c₀, где все cⱼ действительны, и P(a + bi) = 0. При сопряжении суммы каждый член становится сопряжённым ему числом, а действительный коэффициент cⱼ не меняется. Поэтому сопряжённое значение P(a + bi) равно P(a − bi). Сопряжённое к нулю тоже равно нулю, значит, P(a − bi) = 0. Так возникает обязательный второй корень.

Действительный корень не порождает отдельный, отличный от него корень. Для числа a + bi сопряжённое число равно a − bi, и они совпадают тогда и только тогда, когда bi = −bi, то есть b = 0. Это условие означает, что у числа нет мнимой части и оно действительно. Следовательно, правило о двух разных корнях относится только к недействительным комплексным корням.

Каждому корню z соответствует линейный множитель x − z. Для сопряжённых корней эти множители можно перемножить: (x − (a + bi))(x − (a − bi)) = ((x − a) − bi)((x − a) + bi). По формуле разности квадратов получается (x − a)² + b², то есть x² − 2ax + a² + b². Мнимая часть исчезает, поэтому у квадратного множителя все коэффициенты действительные.

Сопряжённые корни имеют одинаковую кратность. Если в разложении многочлена есть множитель (x − (a + bi))ⁿ, то при сопряжении всего равенства он переходит в (x − (a − bi))ⁿ. Показатель степени n при этом не меняется, так как сопряжение меняет значения чисел, но не число повторений множителя. Значит, корень a − bi тоже имеет кратность n.

Эти свойства позволяют находить корни, которые не указаны явно, и собирать действительные множители из комплексных корней. Обнаружив корень a + bi, можно сразу записать корень a − bi и заменить их пару квадратным множителем x² − 2ax + a² + b². Действительные корни дают линейные множители, а пары недействительных комплексных корней — квадратные. Так действительный многочлен раскладывают на линейные и неприводимые над действительными числами квадратные множители.

Свойства корней многочлена с действительными коэффициентами

Пользуйтесь таблицей после проверки, что коэффициенты многочлена действительны. Для недействительного корня сразу восстановите сопряжённый и проверьте, что его кратность такая же. Чтобы перейти от пары корней к множителю, подставьте их действительную часть a и коэффициент мнимой части b в формулу из последней строки.

Разбор задач

Задача 1

У многочлена с действительными коэффициентами корень равен 3 − 2i. Найдите ещё один корень. Здесь коэффициенты не нужно знать по отдельности: достаточно их действительности и известного корня. Сопряжение сохраняет действительную часть и меняет знак мнимой.

1. Определяем действительную часть корня: a = 3.
2. Меняем знак мнимой части: −2i превращается в 2i.
3. Записываем сопряжённое число 3 + 2i; по свойству оно тоже является корнем.

Ответ: 3 + 2i. Проверка: числа 3 − 2i и 3 + 2i отличаются только знаком мнимой части, как и должно быть для сопряжённой пары.

Задача 2

Многочлен с действительными коэффициентами имеет корень 1 + 2i кратности 2. Укажите сопряжённый корень и соответствующий множитель. Указанная кратность означает, что линейный множитель повторяется два раза. Нужно учесть эту кратность для обоих корней, а затем перемножить по одному линейному множителю пары.

1. Сопряжённый к 1 + 2i корень — 1 − 2i.
2. Кратность сопряжённого корня также равна 2.
3. Перемножаем линейные множители: (x − (1 + 2i))(x − (1 − 2i)) = x² − 2x + 5.

Ответ: сопряжённый корень 1 − 2i имеет кратность 2, а соответствующий квадратный множитель — x² − 2x + 5. Если учитывать обе кратности в разложении многочлена, эта пара даёт множитель (x² − 2x + 5)².

Задача 3

Многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет корень 2i. Найдите остальные корни, если известно, что один из них равен 1. Степень 3 означает, что у многочлена ровно три корня с учётом кратностей. Один корень уже дан, а второй нужно восстановить по сопряжённости.

1. Сопряжённое к 2i число равно −2i, поэтому это тоже корень.
2. Учитываем заданный действительный корень 1; он совпадает со своим сопряжённым и считается одним корнем.
3. Получены три корня: 2i, −2i и 1. Их количество совпадает со степенью многочлена, дополнительных корней нет.

Ответ: остальные корни — −2i и 1. Проверка по степени показывает, что перечислены все три корня, если каждый из указанных корней имеет кратность 1.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сопряжённая пара возникает у любого многочлена. Это неверно, поскольку доказательство использует действительность коэффициентов, а при комплексных коэффициентах сопряжение меняет сами коэффициенты. Ошибку допускают, забывая проверить условие теоремы. Перед выводом о втором корне убедитесь, что каждый коэффициент многочлена действителен.

Ошибка: менять знак действительной части вместо мнимой, например считать сопряжённым к 3 + 2i число −3 + 2i. При сопряжении действительная часть остаётся прежней, а знак при i меняется. Путаница возникает из-за привычки менять знаки при переходе к противоположному числу. Проверка проста: сумма числа и его сопряжённого должна быть действительной, а разность — чисто мнимой.

Ошибка: забывать, что сопряжённые корни имеют одинаковую кратность. Тогда в разложении одному линейному множителю приписывают большую степень, чем другому, и получают неверное число корней с учётом повторений. Причина в том, что найденный сопряжённый корень воспринимают как новый, не связанный с исходным множителем. Проверяйте степень: сопряжение переводит множитель в соответствующий парный, сохраняя показатель.

Ошибка: записывать для корней a ± bi квадратный множитель x² + 2ax + a² + b². Знак перед 2ax должен быть минус, потому что каждый линейный множитель имеет вид x − корень. Чтобы проверить результат, перемножьте (x − (a + bi))(x − (a − bi)): средний коэффициент равен −2a, а мнимая часть сокращается.

Связь с другими темами

Для работы с сопряжёнными корнями нужны умение складывать и перемножать комплексные числа, находить сопряжённое число и раскладывать многочлены на множители. Освоенное свойство упрощает поиск корней действительных многочленов и помогает представить их в виде произведения линейных и квадратных множителей. Оно связано с основной теоремой алгебры, которая рассматривает число корней многочлена с учётом кратностей. Эти знания применяются при решении алгебраических уравнений.

Что запомнить

• У многочлена с действительными коэффициентами недействительные комплексные корни возникают попарно.
• Если a + bi — корень, то a − bi тоже корень.
• Действительный корень совпадает со своим сопряжённым.
• Сопряжённые корни имеют одинаковую кратность.
• Паре корней a ± bi соответствует множитель x² − 2ax + a² + b².
• Множитель, соответствующий сопряжённой паре, имеет действительные коэффициенты.