§ 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Определения и обозначения

Комплексная плоскость — координатная плоскость, на которой горизонтальная ось соответствует действительным числам, а вертикальная — коэффициентам при i. Её используют, чтобы представить комплексные числа наглядно, как точки. Эти оси называют действительной и мнимой. Их пересечение — начало координат.

Изображением комплексного числа z = a + bi называют точку M(a; b). Первой координатой служит действительная часть a, а второй — коэффициент b при мнимой единице i. Так запись числа превращается в координаты точки. Это позволяет применять к комплексным числам геометрические представления.

Аффикс точки M — комплексное число z = a + bi, изображением которого является M. Иными словами, по координатам точки можно восстановить соответствующее число: M(a; b) имеет аффикс a + bi. Понятие удобно, когда геометрическую задачу нужно записать алгебраически. В частности, оно помогает переходить от точки к числу и обратно.

Модуль комплексного числа z — расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Для z = a + bi он вычисляется по формуле |z| = √(a² + b²). Действительная и мнимая части дают катеты прямоугольного треугольника, а модуль — его гипотенузу. Поэтому модуль показывает геометрическую удалённость числа от нуля.

Как это устроено

Число z = a + bi состоит из двух вещественных коэффициентов: a и b. Поэтому для его изображения нужны две координаты: a задаёт положение вдоль действительной оси, а b — вдоль мнимой. Координаты записывают в том же порядке, что и оси: сначала горизонтальную, затем вертикальную. Так получается точка (a; b), а не (b; a).

Соответствие между числами и точками взаимно однозначно. Если два числа изображаются одной точкой, у них совпадают обе координаты, значит, совпадают a и b, а следовательно, и сами числа. В обратную сторону рассуждение такое же: у каждой точки есть единственная пара координат. Записав её как a + bi, получаем единственный комплексный аффикс этой точки.

Модуль равен длине отрезка от начала координат до точки числа. Координатные оси перпендикулярны, поэтому вместе с отрезком этот отрезок образует прямоугольный треугольник с катетами длины |a| и |b|. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен a² + b². Длина неотрицательна, поэтому из этой суммы извлекают квадратный корень: |z| = √(a² + b²).

При сложении z₁ = a + bi и z₂ = c + di отдельно складываются действительные части и коэффициенты при i: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i. Следовательно, координаты (a; b) и (c; d) переходят в координаты (a + c; b + d). При вычитании аналогично получают (a − c; b − d). Геометрически это те же операции с парами координат, что и при сложении или вычитании векторов.

Сопряжённое к a + bi число — это a − bi: действительная часть сохраняется, а знак коэффициента при i меняется. Значит, его точка имеет координаты (a; −b). При отражении относительно горизонтальной действительной оси абсцисса остаётся прежней, а ордината меняет знак. Поэтому изображения сопряжённых чисел симметричны относительно действительной оси; если b = 0, точка лежит на оси и не перемещается.

Комплексное число и его геометрическое изображение

Пользуйся таблицей, переходя от алгебраической записи к координатам или наоборот. Для модуля сначала определи координаты точки, а затем подставь их в формулу. Для сопряжённого числа оставь первую координату без изменения и поменяй знак второй.

Разбор задач

Задача 1. Изобразите на комплексной плоскости числа z₁ = 2 + 3i и z₂ = −1 + 2i и укажите их координаты. Чтобы построить точку, нужно прочитать действительную часть как абсциссу, а коэффициент при i — как ординату. Затем отложить координаты от начала плоскости. Следите за знаком каждой координаты.

1. Для z₁ действительная часть равна 2, коэффициент при i равен 3. Отметьте точку с координатами (2; 3).
2. Для z₂ действительная часть равна −1, коэффициент при i равен 2. Отметьте точку (−1; 2): она находится слева от мнимой оси и выше действительной.

Ответ: z₁ изображается точкой (2; 3), z₂ — точкой (−1; 2).

Задача 2. Найдите модуль числа z = −3 + 4i и объясните геометрический смысл результата. Его изображение имеет координаты (−3; 4), а модуль равен расстоянию от начала координат до этой точки. Координаты задают катеты прямоугольного треугольника. Поэтому применим теорему Пифагора.

1. Подставьте координаты в формулу: |z| = √((−3)² + 4²).
2. Вычислите квадраты: |z| = √(9 + 16) = √25 = 5.
3. Свяжите результат с рисунком: отрезок от начала координат до точки (−3; 4) имеет длину 5.

Ответ: |z| = 5; это расстояние от начала координат до изображения числа.

Задача 3. Точка M(−2; 5) изображает число z. Найдите z, его сопряжённое число и изобразите оба числа. Координаты сразу дают действительную часть и коэффициент при i, поэтому их не нужно переставлять. Для сопряжённого числа меняют знак только у мнимой части. На плоскости это означает отражение через действительную ось.

1. Первая координата равна −2, вторая — 5, поэтому аффикс точки: z = −2 + 5i.
2. Поменяйте знак коэффициента при i: z̄ = −2 − 5i.
3. Изобразите точки (−2; 5) и (−2; −5). У них одинаковая абсцисса, а ординаты противоположны.

Ответ: z = −2 + 5i, z̄ = −2 − 5i; точки симметричны относительно действительной оси.

Типичные ошибки

Перестановка координат. Иногда в записи a + bi точку указывают как (b; a), потому что путают порядок частей числа. Но горизонтальная ось отвечает действительной части, а вертикальная — коэффициенту при i. Проверка: подпишите оси и поставьте a по горизонтали, b по вертикали. Для числа 2 + 3i должна получиться точка (2; 3).

Мнимая часть принимается за bi. Это происходит, потому что в записи явно виден множитель i. Однако мнимая часть числа a + bi — именно b, то есть коэффициент при i; выражение bi является мнимым слагаемым. На координатной плоскости ординатой служит b. Проверить себя можно, сравнив число 3 + 4i с точкой (3; 4), а не (3; 4i).

Неверный расчёт модуля. Сумму координат или a² + b² без корня иногда принимают за модуль. Причина в том, что формула Пифагора сначала даёт квадрат длины гипотенузы. Для модуля нужно вычислить √(a² + b²), чтобы получить длину. Проверьте результат на простых координатах: у точки (3; 4) модуль равен 5, а не 7 и не 25.

Неправильное отражение сопряжённого числа. При сопряжении меняется знак мнимой части, поэтому точку порой отражают относительно мнимой оси. Но отражение относительно мнимой оси меняет знак абсциссы, а здесь должна поменяться ордината. Проверьте координаты: (a; b) переходит в (a; −b). Значит, точки расположены симметрично относительно действительной оси.

Связь с другими темами

Для построения точек нужны координатная плоскость и умение читать координаты; для формулы модуля — теорема Пифагора. Поэтому геометрическое представление связывает комплексные числа с уже знакомыми инструментами геометрии. Позже расстояние от начала координат поможет изучать аргумент и тригонометрическую форму комплексного числа. В ней число описывают через модуль и направление на плоскости.

Что запомнить

• Числу a + bi соответствует точка (a; b).
• Действительная часть задаёт абсциссу, коэффициент при i — ординату.
• Каждой точке комплексной плоскости соответствует ровно одно комплексное число.
• Модуль числа — расстояние от начала координат до его изображения.
• |a + bi| = √(a² + b²).
• Сопряжённые числа симметричны относительно действительной оси.