§ 2. Комплексно сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления

Определения и обозначения

Числа a + bi и a − bi называют комплексно сопряжёнными. Если z = a + bi, его сопряжённое обозначают z̄ и записывают z̄ = a − bi. Здесь a — действительная часть, а bi — мнимая часть числа. Сопряжённое удобно при делении комплексных чисел и помогает описывать их расположение на плоскости.

Модулем комплексного числа z = a + bi называют число |z| = √(a² + b²). Координаты a и b задают точку (a; b) на комплексной плоскости, а модуль равен расстоянию от этой точки до начала координат. Благодаря такому смыслу модуль позволяет сравнивать удалённость чисел от нуля. Он не бывает отрицательным.

Вычитание комплексных чисел выполняют отдельно для действительных и мнимых частей. Если z = a + bi, а w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i. Это правило сохраняет алгебраическую форму числа, то есть результат снова записывается как действительная часть плюс мнимая. Оно избавляет от необходимости воспринимать i как неизвестную величину.

Делением комплексных чисел называют нахождение частного z/w при условии, что делитель w не равен нулю. Чтобы выполнить деление, дробь домножают сверху и снизу на число, сопряжённое делителю. В результате знаменатель становится действительным, и частное можно привести к виду a + bi. Условие ненулевого делителя необходимо так же, как при делении действительных чисел.

Как это устроено

Числу a + bi на комплексной плоскости соответствует точка с координатами (a; b): действительная часть задаёт горизонтальную координату, а коэффициент при i — вертикальную. У сопряжённого числа a − bi координаты становятся (a; −b). Поэтому точка не сдвигается влево или вправо, а отражается относительно горизонтальной, то есть действительной, оси. Так объясняется, почему при сопряжении меняют знак только у мнимой части.

Формула модуля получается из прямоугольного треугольника с вершинами в начале координат и точке (a; b). Его катеты имеют длины |a| и |b|, а расстояние до точки является гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен a² + b², откуда |z| = √(a² + b²). Сумма квадратов неотрицательна, а арифметический квадратный корень выбирают неотрицательным, поэтому модуль тоже неотрицателен.

При вычитании раскрываем скобки, учитывая знак минус перед второй из них: (a + bi) − (c + di) = a + bi − c − di. Затем группируем действительные слагаемые a и −c отдельно от мнимых bi и −di. Получаем (a − c) + (b − d)i. Такой порядок важен: минус перед скобкой меняет знак и у действительной, и у мнимой части вычитаемого.

Чтобы объяснить правило деления, представим частное как дробь (a + bi)/(c + di). Умножим и числитель, и знаменатель на сопряжённое делителя c − di: значение дроби не изменится, поскольку мы умножаем её на единицу. В знаменателе получаем (c + di)(c − di) = c² − (di)². Так как i² = −1, это выражение равно c² + d² и является действительным.

Деление допустимо только при c + di ≠ 0. Это значит, что c и d не могут одновременно быть нулём, поэтому c² + d² > 0 и на полученный знаменатель можно делить. В числителе после умножения возникает (a + bi)(c − di) = (ac + bd) + (bc − ad)i. Следовательно, z/w = (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc − ad)/(c² + d²))i: здесь отдельно видны действительная и мнимая части частного.

Сопряжение, модуль и операции над комплексными числами

Сначала определите, какую операцию нужно выполнить, затем найдите действительную и мнимую части чисел. При делении отдельно проверьте условие w ≠ 0 и используйте сопряжённое именно делителя. Таблица помогает быстро сверить формулу и условие применимости.

Разбор задач

Задача 1. Для z = 3 − 4i найти сопряжённое число и модуль. Сначала определим действительную часть a = 3 и коэффициент мнимой части b = −4. Для сопряжённого меняется знак перед мнимой частью, а при вычислении модуля оба коэффициента возводятся в квадрат. После вычислений запишем ответы отдельно.

1. Меняем знак мнимой части: z̄ = 3 + 4i.
2. Находим модуль: |z| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: z̄ = 3 + 4i, |z| = 5. Сопряжённое не равно противоположному числу: у противоположного числа изменился бы знак и у действительной части.

Задача 2. Вычислить (5 + 2i) − (3 − 4i) и записать ответ в алгебраической форме. Здесь перед второй скобкой стоит минус, поэтому при её раскрытии знаки обоих слагаемых изменятся. Затем удобно собрать действительные части вместе, а слагаемые с i — отдельно. Это позволяет не потерять знак у мнимой части.

1. Раскрываем скобки: 5 + 2i − 3 + 4i.
2. Вычитаем действительные части: 5 − 3 = 2; складываем коэффициенты при i: 2 + 4 = 6.
3. Записываем результат в виде действительной части плюс мнимая: 2 + 6i.

Ответ: 2 + 6i. Проверка по формуле даёт (5 − 3) + (2 − (−4))i = 2 + 6i, то есть тот же результат.

Задача 3. Вычислить (2 + 3i)/(1 − 2i) и указать, почему деление допустимо. Делитель 1 − 2i не равен нулю, поскольку его действительная часть равна 1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое делителя 1 + 2i: это уберёт i из знаменателя. Затем раскроем скобки и приведём результат к виду a + bi.

1. Домножаем дробь сверху и снизу: ((2 + 3i)(1 + 2i))/((1 − 2i)(1 + 2i)).
2. Знаменатель равен 1² + 2² = 5. Числитель: 2 + 4i + 3i + 6i² = 2 + 7i − 6 = −4 + 7i.
3. Делим обе части числителя на 5: (−4 + 7i)/5 = −4/5 + 7/5 i.

Ответ: −4/5 + 7/5 i. Деление допустимо, потому что знаменатель дроби после преобразования равен 5, а исходный делитель не равен нулю.

Типичные ошибки

• При нахождении сопряжённого иногда меняют знак действительной части или сразу у всего числа. Это путают с нахождением противоположного числа, у которого знаки меняются у обеих частей. Проверьте запись: в z̄ = a − bi число a осталось прежним, а знак коэффициента при i изменился.

• В формуле модуля могут забыть квадратный корень или записать отрицательное значение. Причина — механическое применение формулы без геометрического смысла: модуль является расстоянием. Возведите обе координаты в квадрат, сложите их и извлеките неотрицательный корень.

• При вычитании нередко меняют знак только у одного слагаемого во второй скобке. Ошибка возникает, если забыть, что минус перед скобками относится к каждому слагаемому внутри. Раскройте скобки по одному знаку: (a + bi) − (c + di) = a + bi − c − di.

• При делении можно домножить на сопряжённое только знаменатель или не проверить, что делитель ненулевой. Если изменить лишь знаменатель, значение дроби поменяется; если делитель равен нулю, деление не определено. Умножайте числитель и знаменатель на одно и то же сопряжённое, а затем проверьте c² + d² > 0.

Связь с другими темами

Для работы с сопряжёнными числами и операциями нужно знать алгебраическую форму a + bi, равенство комплексных чисел и правила действий с такими выражениями. В частности, коэффициенты при одинаковых частях сравнивают отдельно, а при раскрытии скобок учитывают знаки. Сопряжение и модуль помогают выполнять умножение и деление комплексных чисел. Геометрический смысл модуля связывает вычисления с расстояниями на комплексной плоскости, а сами операции используются при решении уравнений.

Что запомнить

• Если z = a + bi, то z̄ = a − bi.
• Сопряжённые числа отличаются знаками мнимых частей.
• |a + bi| = √(a² + b²) ≥ 0.
• z − w = (a − c) + (b − d)i.
• Для деления на c + di домножают числитель и знаменатель на c − di.
• (c + di)(c − di) = c² + d².
• Делить на комплексное число можно только тогда, когда оно не равно нулю.