"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Комплексные числа расширяют действительные числа и позволяют решать уравнения, у которых нет действительных корней, например x² + 1 = 0. Комплексное число записывают как a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Числа a и b называют действительной и мнимой частями. Комплексные числа складывают по соответствующим частям, а при умножении раскрывают скобки и заменяют i² на −1. Эти правила помогают выполнять вычисления, не выходя за рамки записи a + bi.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число — число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Например, 2 + 3i и −1 − 5i — комплексные числа. Такая запись нужна, чтобы объединить в одном выражении действительную часть и часть с i. Числа a и b могут быть любыми действительными, в том числе нулём.
Мнимая единица i определяется равенством i² = −1; её нельзя считать действительным числом. Иначе говоря, при умножении i на себя мы получаем −1, а не обычное действительное значение i. Это правило позволяет работать с выражениями, в которых встречаются степени мнимой единицы. Оно также объясняет, почему при умножении комплексных чисел появляется отрицательное слагаемое.
Действительная и мнимая части комплексного числа a + bi — числа a и b соответственно: Re z = a, Im z = b. Например, если z = 5 − 3i, то Re z = 5, а Im z = −3. Мнимая часть — именно коэффициент при i, а не всё слагаемое −3i. Такое разделение помогает выполнять действия с комплексными числами по отдельным компонентам.
Равенство комплексных чисел означает равенство их действительных частей и равенство их мнимых частей. Поэтому a + bi = c + di возможно только при a = c и b = d. Например, 2 + 4i и 2 + 3i не равны, хотя действительные части совпадают. Это правило позволяет сравнивать записи и находить неизвестные коэффициенты.
Комплексные числа вводят, чтобы расширить действительные числа и решить уравнение x² + 1 = 0. В действительных числах оно не имеет корней: квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться −1. Для построения расширения принимают число i с условием i² = −1. Тогда i становится корнем этого уравнения, и вычисления можно продолжать по правилам алгебры.
Запись z = a + bi задаёт комплексное число парой действительных чисел (a, b). Коэффициент a показывает действительную часть, а b — мнимую, поэтому Re z = a и Im z = b. Представление через пару удобно тем, что каждое число имеет однозначные координаты: разные пары не задают одно и то же комплексное число. Если b = 0, запись превращается в обычное действительное число a.
Равенство a + bi = c + di сводится к двум условиям: a = c и b = d. Причина в том, что у каждого комплексного числа действительная часть и коэффициент при i определяются однозначно. Если бы совпадала только одна из частей, числа всё равно могли бы отличаться другой частью. Поэтому при сравнении записей отдельно приравнивают коэффициенты без i и коэффициенты при i.
Сложение выполняют по соответствующим частям: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. При раскрытии скобок получаются слагаемые a, bi, c и di, после чего действительные числа a и c группируют отдельно от bi и di. В последних выносят общий множитель i, а коэффициенты b и d складывают. Так сохраняется форма a + bi, пригодная для дальнейших действий.
Умножение получают раскрытием скобок и заменой i² на −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. При раскрытии возникают четыре произведения: ac, adi, bci и bdi². Первое и последнее становятся действительными слагаемыми, причём bdi² = −bd; два остальных содержат i и объединяются. Поэтому минус перед bd появляется именно из определения мнимой единицы.
| Что рассматривается | Правило | Результат |
|---|---|---|
| Комплексное число | z = a + bi, a, b ∈ ℝ | Число задаётся парой (a, b) |
| Действительная и мнимая части | Для z = a + bi: Re z = a, Im z = b | Две действительные координаты числа |
| Равенство комплексных чисел | a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d | Совпадают обе части |
| Сложение | (a + bi) + (c + di) | (a + c) + (b + d)i |
| Умножение с учётом i² = −1 | (a + bi)(c + di) | (ac − bd) + (ad + bc)i |
Сначала определите, какое действие выполняется, затем выберите соответствующую строку таблицы. При сложении следите за коэффициентами отдельно, а при умножении не забудьте заменить i² на −1. Получившийся ответ приведите к виду a + bi.
Задача 1. Для z = 5 − 3i укажите действительную и мнимую части. Сопоставим запись с формой a + bi: коэффициент без i равен 5, а перед i стоит число −3. Важно не принять слагаемое −3i за мнимую часть.
Ответ: Re z = 5, Im z = −3. Проверка состоит в том, чтобы восстановить исходную запись: 5 + (−3)i = 5 − 3i. Значит, обе части определены верно.
Задача 2. Найдите сумму (2 + 3i) + (−4 + i). Складывать нужно коэффициенты одного типа, поэтому отдельно соберём действительные слагаемые и слагаемые с i. Это не требует раскрытия каких-либо произведений.
Ответ: −2 + 4i. Проверить результат можно раскрытием скобок и группировкой: 2 − 4 + 3i + i. Действительная часть равна −2, а коэффициент при i — 4.
Задача 3. Вычислите (2 − 3i)(1 + 4i). Здесь каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй. После раскрытия скобок приведём действительные и мнимые слагаемые отдельно.
Ответ: 14 + 5i. Знак перед числом 12 стал положительным, потому что произведение −12 на i² равносильно −12 · (−1). В конечной записи действительная часть равна 14, мнимая — 5.
Ошибка: считать Im(a + bi) равной bi. Её допускают, потому что мнимую часть путают со всем слагаемым, в котором есть i. На деле Im z — действительное число b, коэффициент при мнимой единице. Проверьте ответ подстановкой: если z = 5 − 3i, то мнимая часть −3, а не −3i.
Ошибка: записывать i² = 1 или оставлять i² в окончательном ответе. Она возникает, когда забывают определение мнимой единицы или пытаются считать i обычной переменной. По определению i² = −1, поэтому каждую вторую степень i нужно заменить на −1. Проверьте результат умножения: в нём не должно остаться i².
Ошибка: при сложении перемножать части или складывать их крест-накрест. Причина обычно в том, что правило для сложения смешивают с раскрытием скобок при умножении. Складываются отдельно действительные части и отдельно коэффициенты при i: (a + c) и (b + d). Для проверки сложите однотипные слагаемые, как в выражении 2 + 3i − 4 + i.
Ошибка: при умножении не учесть отрицательный знак при замене i² на −1. Так бывает, если знак произведения теряется во время раскрытия скобок. Например, член −12i² превращается в +12, а не в −12. Проверьте отдельно произведение коэффициента на значение i² и только потом объединяйте действительные части.
Для действий с комплексными числами нужны знакомые навыки работы с действительными числами: раскрытие скобок, умножение, сложение и приведение подобных слагаемых. При умножении особенно важно аккуратно учитывать знаки и степени i. Если эти действия вызывают затруднения, полезно сначала повторить алгебраические преобразования на обычных выражениях.
Комплексные числа позволяют решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, для которых действительных корней нет. Запись a + bi и правила действий становятся основой для дальнейшего изучения свойств комплексных чисел и способов их представления. Поэтому умение выделять части и выполнять вычисления важно не только для отдельных примеров, но и для следующих тем.
Почему вводят мнимую единицу i?
В действительных числах уравнение x² + 1 = 0 не имеет решения: квадрат числа не может быть отрицательным. Вводят число i, для которого i² = −1, и благодаря этому получают комплексные числа и расширяют круг решаемых уравнений.
Может ли мнимая часть комплексного числа быть отрицательной?
Да. Например, в числе 5 − 3i мнимая часть равна −3. Это действительное число — коэффициент при i, а не всё слагаемое −3i.
Как проверить, равны ли два комплексных числа?
Запишите оба числа в виде a + bi и сравните коэффициенты при единице и при i. Числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и отдельно равны мнимые части.
Почему при умножении комплексных чисел появляется знак минус?
При раскрытии скобок возникает произведение i на i, то есть i². По определению i² = −1, поэтому произведение членов с i² даёт слагаемое со знаком минус в действительной части.
Чем комплексное число отличается от действительного?
Комплексное число имеет вид a + bi и задаётся двумя действительными числами: a и b. Действительное число — частный случай комплексного, у которого b = 0; число с ненулевым коэффициентом при i не является действительным.
§ 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел
