"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Формула Бернулли помогает найти вероятность того, что в серии одинаковых независимых испытаний успех наступит ровно заданное число раз. Например, с её помощью можно оценить вероятность нужного числа орлов при нескольких подбрасываниях монеты или попаданий при выстрелах. Для расчёта нужны число испытаний, число успехов и постоянная вероятность успеха. Формула учитывает не только вероятность одной последовательности исходов, но и все возможные места успехов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание Бернулли — опыт с двумя взаимоисключающими исходами: успехом и неудачей. В одном испытании происходит ровно один из них. Такое описание позволяет свести разные ситуации, например бросок монеты и выстрел по цели, к общей вероятностной модели.
Независимые испытания — испытания, в которых исход каждого не влияет на исходы остальных. Поэтому знание результата одного шага не меняет вероятность результата другого. Независимость нужна, чтобы вероятность целой последовательности можно было найти перемножением вероятностей её исходов.
Вероятность успеха p — постоянная вероятность успеха в каждом испытании; вероятность неудачи обозначают q = 1 − p. Например, если попадание происходит с вероятностью 0,8, то промах — с вероятностью 0,2. Эти два исхода исчерпывают все возможности, поэтому их вероятности в сумме равны 1.
Формула Бернулли — формула вероятности ровно m успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью успеха. Её записывают так: Pₙ(m) = Cₙᵐpᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾. Она помогает учитывать сразу все варианты расположения успехов, а не только одну последовательность результатов.
Сначала проверяют условия применения: число испытаний задано заранее, каждое испытание независимо, а вероятности успеха и неудачи одинаковы на каждом шаге. Эти условия нужны потому, что формула строится на одной и той же паре вероятностей p и q и на перемножении вероятностей независимых исходов. Если, например, результат предыдущего шага меняет вероятность следующего, такая схема уже не подходит. Тогда нельзя пользоваться формулой, просто подставив среднее значение вероятности.
Рассмотрим одну последовательность, в которой успехи и неудачи уже стоят на определённых местах. В ней ровно m успехов, каждый с вероятностью p, и n − m неудач, каждая с вероятностью q. Из независимости следует, что вероятность всей последовательности равна произведению вероятностей отдельных исходов: p · p · … · q · q · … = pᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾. Степень при каждой вероятности показывает, сколько раз соответствующий исход повторился.
Однако заданное число успехов не закрепляет их места в последовательности. Например, при четырёх испытаниях и двух успехах подходят варианты УУНН, УНУН, УННУ и другие перестановки, где У — успех, а Н — неудача. Число способов выбрать места для m успехов среди n испытаний равно числу сочетаний Cₙᵐ. Сочетания считают только выбранные места, не учитывая порядок их перечисления, поэтому каждый подходящий вариант учитывается один раз.
Все последовательности с ровно m успехами несовместны: результат серии не может одновременно быть двумя разными последовательностями. Поэтому вероятности таких вариантов складывают. У каждой последовательности одинаковая вероятность pᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾, а самих последовательностей Cₙᵐ; значит, сумма равна Pₙ(m) = Cₙᵐpᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾. Так получается формула Бернулли: сочетания отвечают за количество вариантов, а степени p и q — за вероятность каждого из них.
Для вычисления сначала определяют, что считать успехом, затем находят n, m и p, а после этого вычисляют q = 1 − p и подставляют данные в формулу. Проверяют, что m — целое число и 0 ≤ m ≤ n: нельзя получить отрицательное число успехов или больше успехов, чем было испытаний. Результат должен лежать от 0 до 1 включительно, поскольку это вероятность. Если спрашивают «не менее» или «не более» заданного числа успехов, нужно объединить несколько значений m, сложив соответствующие вероятности.
| Элемент | Обозначение | Смысл |
|---|---|---|
| Число испытаний | n | Общее количество независимых испытаний |
| Число успехов | m | Сколько успехов должно произойти |
| Вероятность успеха | p | Одинакова в каждом испытании |
| Вероятность неудачи | q = 1 − p | Дополнение вероятности успеха до 1 |
| Вероятность ровно m успехов | Pₙ(m) | Cₙᵐpᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾ |
Пользуйся таблицей как планом подстановки: сначала выпиши n, m и p, затем вычисли q. После этого найди сочетание Cₙᵐ и степени вероятностей. В последней строке указана вероятность именно ровно m успехов, а не вероятность «не менее m».
Орёл считаем успехом, а решку — неудачей. Подбрасывания независимы, и для обычной монеты вероятность каждого исхода равна ½. Нужно учесть все последовательности с двумя орлами, поэтому используем формулу Бернулли.
Полученная вероятность меньше 1 и относится ко всем шести вариантам расположения орлов. Ответ: 3/8, или 0,375.
Успехом считаем попадание, неудачей — промах. Предполагается, что выстрелы независимы и вероятность попадания не меняется. Поэтому можно найти вероятность каждого варианта с тремя попаданиями и учесть число таких вариантов.
Множитель C₅³ учитывает, что три попадания могут произойти в разных выстрелах. Ответ: 0,2048.
«Не менее двух» означает два, три и так далее вплоть до десяти успехов. Можно вычислить десять вероятностей и сложить, но удобнее рассмотреть противоположное событие: ноль или один успех. При p = 0,3 вероятность неудачи равна q = 0,7.
События «ноль или один успех» дополняют событие «не менее двух успехов», поэтому такой расчёт учитывает все случаи. Ответ: примерно 0,8507.
Применяют формулу при зависимых испытаниях или меняющейся вероятности. Ошибка возникает, когда похожесть опытов принимают за независимость или постоянство вероятности. Проверь, влияет ли предыдущий результат на следующий и одинаково ли задана вероятность успеха на каждом шаге. Если хотя бы одно условие не соблюдено, обычную формулу Бернулли применять нельзя.
Путают вероятности успеха и неудачи. Часто в формулу подставляют данное в задаче значение не проверив, какой исход оно описывает. Отдельно запиши, что выбрано успехом, затем обозначь его вероятность p и вычисли q = 1 − p. Проверка простая: вероятности двух исходов должны в сумме давать 1.
В степени при q указывают m вместо n − m. Так происходит, если перепутать число успехов и число остальных исходов. Поскольку в серии всего n испытаний, после m успехов остаётся n − m неудач. Перед вычислением проверь: показатели при p и q должны в сумме равняться n.
Забывают множитель Cₙᵐ. Тогда вычисляют вероятность только одной конкретной последовательности, например когда успехи стоят на первых m местах. Но те же m успехов могут располагаться иначе, и формулировка задачи обычно допускает все такие варианты. Проверь, учтены ли все способы выбрать места для успехов; если нет, нужно умножить на Cₙᵐ.
Для формулы Бернулли нужны правила умножения вероятностей независимых событий: они объясняют, почему вероятность конкретной последовательности равна произведению вероятностей её исходов. Сочетания Cₙᵐ связывают расчёт с комбинаторикой и помогают посчитать число расположений успехов. Вместе эти идеи позволяют решать задачи о повторных испытаниях. Формула также служит основой для изучения биномиального распределения и оценки вероятностей числа успехов.
Почему в формуле Бернулли нужно умножать на число сочетаний?
Вероятность pᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾ относится к одной определённой последовательности успехов и неудач. Успехи могут расположиться на разных местах, а выбрать m мест из n можно Cₙᵐ способами. Поэтому вероятность одной последовательности умножают на число таких последовательностей.
Как определить, что считать успехом в задаче?
Успехом называют тот исход одного испытания, вероятность которого нужно использовать в расчёте. Это не обязательно желательное событие: например, в задаче о браке успехом можно условно назвать появление дефектной детали. Главное — придерживаться выбранного определения во всех испытаниях.
Чем вероятность успеха отличается от вероятности неудачи?
Это вероятности двух взаимоисключающих исходов одного испытания. Если успех происходит с вероятностью p, то неудача происходит с вероятностью q = 1 − p. Их сумма равна 1.
Можно ли использовать формулу, если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию?
Нет, обычная формула Бернулли предполагает одинаковую вероятность успеха в каждом испытании. Если вероятности меняются, вероятности последовательностей уже не выражаются одной и той же степенью p и q. Тогда задачу нужно решать другим способом.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Можно сложить вероятности для числа успехов от 1 до n. Часто проще вычесть из 1 вероятность нуля успехов: P(хотя бы один успех) = 1 − qⁿ. Такой приём работает, потому что событие «нет ни одного успеха» является противоположным событию «есть хотя бы один успех».
§ 5. Формула Бернулли
