16.3. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Определения и обозначения

Комплексная плоскость — плоскость с горизонтальной действительной и вертикальной мнимой осями, на которой изображают комплексные числа. Оси устроены так же, как координатные оси, но их называют по частям комплексного числа. Такая плоскость превращает запись числа в наглядную геометрическую модель.

Образ комплексного числа — точка комплексной плоскости с координатами, равными действительной и мнимой частям числа. Например, числу a + bi соответствует точка (a; b). Образ нужен, чтобы видеть положение числа на плоскости и сравнивать его с другими числами геометрически.

Аффикс точки — комплексное число, соответствующее данной точке плоскости; для точки с координатами (a; b) аффикс равен a + bi. Иначе говоря, координаты точки записывают как действительную и мнимую части одного числа. Аффикс позволяет перейти от геометрической записи точки обратно к алгебраической записи числа.

Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до образа этого числа; для z = a + bi он равен √(a² + b²). В формуле под корнем складываются квадраты координат образа. Модуль нужен, чтобы численно выразить удалённость комплексного числа от нуля.

Как это устроено

В записи z = a + bi действительная часть равна a, а мнимая часть равна b. Коэффициент b берут без i: например, у числа 2 − 3i мнимая часть равна −3. Чтобы изобразить z, откладывают a по горизонтали, а затем b по вертикали, поэтому получается точка (a; b). Такой выбор координат сохраняет раздельный вклад обеих частей числа: горизонтальное смещение показывает a, вертикальное — b.

Каждой точке плоскости соответствует ровно одна пара координат (a; b), а значит, ровно одно комплексное число a + bi. И наоборот, у каждого комплексного числа есть единственные действительная и мнимая части, поэтому оно задаёт только одну точку. Однозначность в обе стороны важна: можно свободно переходить от числа к точке и от точки к числу, не опасаясь неоднозначности. Благодаря этому задачи о комплексных числах можно переводить на язык геометрии.

Из начала координат к точке (a; b) можно провести вектор. Его горизонтальная составляющая равна a, вертикальная — b, то есть координаты вектора совпадают с действительной и мнимой частями числа. Вектор указывает направление от нуля к образу и наглядно связывает алгебраическую запись с положением точки. Само число при этом задаёт не только расстояние, но и конкретное положение образа на плоскости.

Чтобы найти длину вектора из начала координат в точку (a; b), можно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами a и b. По теореме Пифагора квадрат длины равен a² + b², поэтому длина составляет √(a² + b²). Именно эта длина и есть модуль числа a + bi: |a + bi| = √(a² + b²). Формула работает и при отрицательных координатах, потому что в неё входят их квадраты.

Если действительная часть равна нулю, координата точки по горизонтали равна нулю, поэтому образ находится на вертикальной мнимой оси. Если нулю равна мнимая часть, вертикальная координата исчезает, и точка лежит на горизонтальной действительной оси. Например, 0 + 4i изображается точкой (0; 4), а −3 + 0i — точкой (−3; 0). Так положение на оси сразу показывает, какая часть числа равна нулю.

Соответствие комплексного числа и его геометрического образа

Пользуйся таблицей, чтобы переходить от алгебраической записи к координатам и обратно. Для модуля сначала определи координаты образа, а затем подставь их в формулу. Следи, чтобы мнимая часть была именно коэффициентом при i.

Разбор задач

Число z = 2 − 3i

Изобразите на комплексной плоскости число z = 2 − 3i и укажите его действительную и мнимую части. Сначала отделим коэффициент при i от самой мнимой единицы: действительная часть числа равна 2, а мнимая часть — −3. Значит, образ будет находиться правее начала координат и ниже действительной оси.

1. Сравниваем число с видом a + bi: a = 2, b = −3.
2. Записываем координаты образа в порядке (действительная часть; мнимая часть): (2; −3).
3. На плоскости от начала координат двигаемся на 2 единицы вправо и на 3 вниз, затем отмечаем полученную точку.

Ответ: образ — точка (2; −3), действительная часть равна 2, мнимая часть равна −3.

Точка A(−4; 1)

Найдите аффикс точки A(−4; 1) и модуль соответствующего комплексного числа. Первая координата становится действительной частью, а вторая — коэффициентом при i, поэтому аффикс равен −4 + i. Чтобы получить модуль, найдём расстояние от начала координат до точки по теореме Пифагора.

1. Считываем координаты: a = −4, b = 1.
2. Записываем аффикс: z = a + bi = −4 + 1i = −4 + i.
3. Подставляем координаты в формулу: |z| = √((−4)² + 1²) = √17.

Ответ: аффикс точки A — −4 + i, модуль соответствующего числа равен √17.

Расстояние до начала координат равно 5

Найдите все комплексные числа, образ которых находится на расстоянии 5 от начала координат и имеет действительную часть 3. Условие о расстоянии означает, что модуль равен 5, а условие о действительной части задаёт вертикальную прямую x = 3. Ищем точки, которые одновременно лежат на этой прямой и на окружности радиуса 5 с центром в начале координат.

1. Пусть искомое число имеет вид z = 3 + bi, где b — неизвестная мнимая часть.
2. Используем условие модуля: √(3² + b²) = 5. После возведения в квадрат получаем 9 + b² = 25, значит, b² = 16.
3. Отсюда b = 4 или b = −4. Это две точки пересечения прямой x = 3 с окружностью радиуса 5, расположенные по разные стороны от действительной оси.

Ответ: 3 + 4i и 3 − 4i.

Типичные ошибки

Путать координаты образа. Иногда коэффициент при i откладывают по горизонтали, а действительную часть — по вертикали. Так происходит, если забыть, какая ось называется действительной, а какая мнимой. Проверка: сначала подпиши оси, затем сверяй координаты точки с записью a + bi — a должно стоять по горизонтали.

Записывать мнимую часть как bi. В числе a + bi мнимая часть — это действительное число b, а bi является мнимым слагаемым. Путаница возникает из-за того, что букву i часто воспринимают как часть названия «мнимая часть». Проверь запись, выделив коэффициент при i: например, для 5 − 2i мнимая часть равна −2.

Считать модулем сумму частей числа. Сложение a и b не даёт расстояние от точки (a; b) до начала координат, потому что оно не учитывает геометрию прямоугольного треугольника. Ошибку допускают, перенося в вычисление модуля привычное сложение координат. Проверь себя по теореме Пифагора: возведи обе координаты в квадрат и извлеки корень из суммы.

Совмещать числа с противоположными мнимыми частями. Числа a + bi и a − bi имеют одинаковую горизонтальную координату, но разные вертикальные координаты. Поэтому их точки отражены друг от друга относительно действительной оси, а не совпадают. Проверка проста: отметь знаки мнимых частей — положительный уводит точку вверх, отрицательный вниз.

Связь с другими темами

Для геометрического представления комплексных чисел нужны координатная плоскость, координаты точки, длина вектора и теорема Пифагора. Эти знания объясняют, почему образ числа можно задавать парой координат, а модуль — находить как длину вектора. Дальше геометрическая модель поможет изучать аргумент комплексного числа и геометрический смысл операций над комплексными числами. Представление через точки и расстояния делает такие свойства нагляднее, чем одна только алгебраическая запись.

Что запомнить

• Числу z = a + bi соответствует точка (a; b).
• Действительная часть задаёт горизонтальную координату.
• Коэффициент при i задаёт вертикальную координату.
• Аффикс точки (a; b) равен a + bi.
• Модуль числа — расстояние от начала координат до его образа.
• |a + bi| = √(a² + b²).