"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Тригонометрическая форма записывает ненулевое комплексное число через его модуль и аргумент: z = r(cos φ + i sin φ). Она переводит координаты точки на комплексной плоскости в полярные координаты и помогает выполнять действия, которые в алгебраической форме бывают громоздкими. При умножении числа модули перемножаются, а углы складываются; при делении модули делятся, а углы вычитаются. Формула Муавра упрощает возведение в степень, а деление угла на показатель позволяет найти все корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль, а φ — аргумент числа. Она заменяет координатную запись z = a + bi записью через длину и направление радиус-вектора. Такая форма удобна для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней.
Модуль комплексного числа z = a + bi — неотрицательное число |z| = √(a² + b²), равное расстоянию от начала координат до точки (a, b). Его можно найти по теореме Пифагора: действительная и мнимая части задают катеты прямоугольного треугольника. Модуль показывает, на каком расстоянии от начала координат находится число.
Аргумент комплексного числа — угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором числа. Для одного числа аргументов бесконечно много: если φ — один из них, то остальные имеют вид φ + 2πk, где k — целое число. Угол нужен, чтобы описать направление точки и применять правила действий в тригонометрической форме.
Ненулевое комплексное число — число z ≠ 0, для которого существует тригонометрическая форма с положительным модулем. У нуля нельзя определить аргумент: радиус-вектор нулевой длины не указывает направления. Поэтому в стандартной записи тригонометрической формы рассматривают ненулевые числа.
Числу z = a + bi соответствует точка (a, b) на комплексной плоскости: координата a откладывается по действительной оси, а b — по мнимой. Если провести от начала координат радиус-вектор к этой точке, получится прямоугольный треугольник с катетами a и b по длинам и гипотенузой r. По теореме Пифагора r = √(a² + b²), то есть модуль совпадает с длиной радиус-вектора. Полярные координаты описывают ту же точку иначе: через расстояние r и угол φ.
В прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе равно cos φ, а отношение противолежащего катета к гипотенузе равно sin φ. Поэтому a = r cos φ и b = r sin φ. Подставим найденные координаты в запись z = a + bi: получим z = r cos φ + i r sin φ. Вынесение общего множителя r даёт z = r(cos φ + i sin φ), то есть тригонометрическую форму.
Поворот на полный круг не меняет положение радиус-вектора, а полный круг в радианах равен 2π. Поэтому углы φ и φ + 2πk задают одно направление и являются аргументами одного числа. Обычно выбирают тот аргумент, с которым проще вычислять, например угол из стандартного диапазона и известные значения синуса и косинуса. При выборе нужно учитывать четверть точки: знаки a и b определяют, где она расположена.
При умножении двух чисел в тригонометрической форме длины радиус-векторов перемножаются, а повороты последовательно складываются. Поэтому для модулей r₁, r₂ и аргументов φ₁, φ₂ произведение имеет модуль r₁r₂ и аргумент φ₁ + φ₂. При делении длины делятся, а обратный поворот вычитается, поэтому модуль частного равен r₁/r₂, а аргумент — φ₁ − φ₂. Делить можно только на ненулевое число, так как его модуль должен быть отличен от нуля.
При возведении числа в целую степень умножение повторяется несколько раз: модуль каждый раз перемножается сам с собой, а аргумент столько же раз складывается с собой. Отсюда формула Муавра zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Для корня n-й степени нужно взять корень из модуля и разделить аргумент на n, но к исходному аргументу можно добавить 2πk. Значения k = 0, …, n − 1 дают все n разных корней, равномерно расположенных по окружности.
| Понятие или операция | Формула | Условия | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| Модуль числа z = a + bi | |z| = √(a² + b²) | Модуль неотрицателен | Расстояние от начала координат до точки z |
| Аргумент числа | φ = arg z, где cos φ = a/|z| и sin φ = b/|z| | z ≠ 0; φ определяется с точностью до 2πk | Угол радиус-вектора с положительным направлением действительной оси |
| Тригонометрическая форма | z = |z|(cos φ + i sin φ) | z ≠ 0 | Полярные координаты точки на комплексной плоскости |
| Произведение | z₁z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)] | Оба множителя представлены в тригонометрической форме | Модули перемножаются, углы складываются |
| Частное | z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)] | z₂ ≠ 0 | Модули делятся, углы вычитаются |
| Степень и корни | zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ); wₖ = ⁿ√r[cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)] | Для степени n — целое; для корней k = 0, …, n − 1 | Степени поворачивают радиус-вектор, корни равномерно расположены на окружности |
Чтобы перейти из алгебраической формы к тригонометрической, найдите модуль и выберите аргумент с учётом четверти точки. Для умножения и деления удобно работать с модулями и аргументами отдельно. При извлечении корня обязательно переберите все указанные значения k.
Нужно определить длину радиус-вектора и его направление. У числа действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, значит, точка находится во второй четверти. Это поможет выбрать угол с правильными знаками синуса и косинуса.
Ответ: z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)). Другие аргументы этого же числа имеют вид 2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
Даны z₁ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) и z₂ = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)). Поскольку оба числа уже записаны в тригонометрической форме, перемножать отдельно действительные и мнимые части не требуется. Достаточно умножить модули и сложить аргументы.
Ответ: z₁z₂ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6i. Проверка по смыслу: модуль результата равен 6, а направление соответствует положительной мнимой оси.
Ищем все числа w, для которых w³ равно заданному комплексному числу. Модуль каждого корня равен кубическому корню из 8, то есть 2. Углы нужно получить из всех аргументов исходного числа, а не только из π/2.
Ответ: 2(cos(π/6) + i sin(π/6)), 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)), 2(cos(3π/2) + i sin(3π/2)). У всех корней модуль 2, а направления отличаются на 2π/3, поэтому точки равномерно расположены на окружности.
Указывают только один аргумент, хотя у числа есть бесконечно много аргументов. Обычно это происходит потому, что найденный угол принимают за единственный; проверка проста: добавьте к нему 2πk и убедитесь, что направление не изменяется. В ответе можно назвать один выбранный аргумент, но нужно помнить о полном наборе.
При определении аргумента неправильно выбирают четверть, ориентируясь только на одно значение синуса или косинуса. Например, одинаковый синус бывает у углов из разных четвертей, поэтому нужно учитывать знаки обеих частей z = a + bi. Проверьте, что cos φ имеет знак a, а sin φ — знак b.
При умножении складывают модули или перемножают аргументы. Так путают две отдельные части правила: модули следует перемножить, а углы сложить; при делении, наоборот, модули делят и аргументы вычитают. Проверяйте каждый результат отдельно: модуль должен быть неотрицательным, а угол должен соответствовать нужному повороту.
При извлечении корня находят только значение для k = 0 и останавливаются. Это даёт лишь один из корней, потому что аргумент исходного числа можно увеличить на 2πk. Для корня n-й степени подставьте все k от 0 до n − 1 и проверьте, что получились n разных направлений.
Для перехода к тригонометрической форме нужны алгебраическая запись z = a + bi, модуль и координатное представление числа на комплексной плоскости. Также пригодятся значения синуса и косинуса основных углов и умение определять четверть по знакам координат. Тема особенно полезна при вычислении степеней и корней комплексных чисел: здесь применяется формула Муавра. Она также связывает комплексные числа с тригонометрическими уравнениями и полярными координатами.
Почему аргумент комплексного числа не единственный?
Поворот на полный оборот, то есть на 2π, не меняет направление радиус-вектора. Поэтому, если φ — аргумент, то все аргументы имеют вид φ + 2πk, где k — целое число.
Как определить аргумент, если действительная или мнимая часть отрицательна?
Сначала по знакам действительной и мнимой частей определите четверть точки. Затем выберите угол, у которого синус и косинус имеют нужные знаки, и при необходимости прибавьте 2π, чтобы получить угол в выбранном диапазоне.
Можно ли записать нуль в тригонометрической форме?
Нуль можно формально получить при r = 0, но аргумент при этом не определён: радиус-вектор нулевой длины не задаёт направление. Поэтому стандартную тригонометрическую форму с положительным модулем используют для ненулевых чисел.
Почему при умножении комплексных чисел складываются углы?
Аргумент задаёт направление радиус-вектора, а умножение комплексных чисел соответствует последовательному повороту на аргументы множителей. Повороты складываются, поэтому аргумент произведения равен сумме аргументов.
Почему у корня n-й степени получается ровно n значений?
В аргумент исходного числа можно добавить 2πk, а при извлечении корня угол делится на n. При k = 0, …, n − 1 получаются n разных направлений; следующие значения k повторяют их.
§ 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел
