"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Тригонометрическая форма представляет комплексное число через его модуль и аргумент: z = r(cos φ + i sin φ). Она связывает число z = a + bi с точкой на комплексной плоскости и её полярными координатами. По этой записи легко восстановить действительную и мнимую части, а при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней вычисления становятся удобнее. Для ненулевого числа модуль положителен, а аргументы отличаются на 2πk.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — это запись z = r(cos φ + i sin φ), где r > 0, а φ — аргумент числа. Она заменяет координаты a и b длиной радиус-вектора и его направлением. Такая форма особенно удобна в действиях, связанных с умножением, делением и степенями.
Модуль комплексного числа |z| — расстояние от начала координат до точки, изображающей число z на комплексной плоскости. В тригонометрической форме это расстояние обозначают буквой r, поэтому r = |z|. Модуль показывает «размер» комплексного числа и не бывает отрицательным.
Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором числа. Его обозначают φ; один и тот же луч можно описать углами, отличающимися на полный оборот. Аргумент задаёт направление точки относительно начала координат.
Главное значение аргумента — один выбранный представитель всех возможных аргументов. Обычно его берут в промежутке (−π; π], чтобы каждому ненулевому числу сопоставить ровно один угол. Остальные значения получают прибавлением 2πk.
Запись z = a + bi изображается точкой с координатами (a, b): действительная часть задаёт положение по горизонтали, а мнимая — по вертикали. Если соединить эту точку с началом координат, получится радиус-вектор. Его длина равна r, а угол наклона к положительной действительной оси равен φ, поэтому полярные и декартовы координаты связаны формулами a = r cos φ и b = r sin φ.
Из прямоугольного треугольника на комплексной плоскости следует r² = a² + b². Поэтому модуль находят по формуле r = √(a² + b²). Угол нельзя выбирать только по числу b/a: тангенс одинаков для углов, отличающихся на π, поэтому сначала определяют четверть по знакам a и b.
Один и тот же луч после поворота на 2π возвращается в прежнее положение. Значит, углы φ, φ + 2π, φ − 2π и вообще φ + 2πk задают одну точку и одно комплексное число. По этой причине тригонометрическая форма не единственна: можно использовать любой такой аргумент, сохраняя тот же положительный модуль.
Для z = 0 имеем a = 0 и b = 0, поэтому |z| = 0. Однако нулевой радиус-вектор не имеет направления, а значит, у нуля нет аргумента. Поэтому стандартную запись z = r(cos φ + i sin φ) с условием r > 0 для нуля не применяют.
Обратный переход выполняют непосредственно из равенств a = r cos φ и b = r sin φ. Сначала вычисляют действительную часть a, затем мнимую часть b и записывают z = a + bi. Если выбран угол, отличающийся от другого на 2πk, значения синуса и косинуса не изменятся, поэтому получится то же число.
Таблица показывает, какую величину искать при переходе между двумя формами записи. В каждой строке сначала находите известные данные, а затем применяете указанное правило. Для проверки можно восстановить координаты и сравнить их с исходными.
| Что определяется | Формула или правило | Уточнение |
|---|---|---|
| Модуль числа z = a + bi | r = |z| = √(a² + b²) | Для z ≠ 0 значение r положительно. |
| Координаты числа через модуль и аргумент | a = r cos φ, b = r sin φ | Тогда z = r(cos φ + i sin φ). |
| Все аргументы ненулевого числа | φ + 2πk, k ∈ Z | Главное значение выбирают, например, в (−π; π]. |
| Особый случай z = 0 | |z| = 0 | Аргумент не определён; форма с r > 0 не применяется. |
Действительная и мнимая части положительны, поэтому точка (1, 1) находится в первой четверти. Сначала найдём длину радиус-вектора, а затем угол, который он образует с положительной осью. В первой четверти при равных координатах этот угол равен π/4.
Ответ: z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Проверка даёт √2 · √2/2 = 1 для обеих частей.
Точка имеет отрицательную действительную и положительную мнимую координаты, значит, она лежит во второй четверти. Модуль вычислим по теореме Пифагора, а угол выберем с учётом знаков координат. После этого добавим все полные обороты.
Ответ: z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)); Arg z = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Главное значение аргумента равно 5π/6.
Здесь модуль и угол уже известны, поэтому остаётся восстановить координаты по формулам a = r cos φ и b = r sin φ. Угол 5π/6 лежит в промежутке (−π; π], так что он уже является главным значением. Вычислим обе части отдельно.
Ответ: z = −2√3 + 2i, главное значение аргумента — 5π/6. Знаки координат подтверждают расположение точки во второй четверти.
Ошибка: находить аргумент только по отношению b/a. Такое отношение даёт тангенс, но один и тот же тангенс встречается в двух четвертях. Проверьте знаки a и b и только потом выбирайте угол.
Ошибка: считать аргумент единственным. Поскольку полный оборот не меняет направления луча, к найденному углу можно прибавлять 2πk. Для проверки запишите все аргументы и отдельно выделите главное значение.
Ошибка: допускать отрицательный модуль или считать его знаковой величиной. Модуль — это расстояние, поэтому он неотрицателен, а для ненулевого числа r > 0. Проверьте результат формулой r = √(a² + b²).
Ошибка: приписывать аргумент нулю. У нулевого числа нет направления, хотя его модуль равен нулю. Если обе координаты равны нулю, аргумент нужно назвать неопределённым.
До изучения темы нужно уверенно владеть алгебраической формой z = a + bi, находить координаты точки и понимать смысл модуля. Также понадобятся определения синуса и косинуса, включая их знаки в разных четвертях. Эти знания объясняют переход от координат к полярному описанию.
Тригонометрическая форма особенно полезна в дальнейших действиях с комплексными числами. При умножении и делении работают с модулями и аргументами, при возведении в степень применяют формулу Муавра, а при извлечении корней получают несколько возможных аргументов.
Почему аргумент комплексного числа не единственный?
Поворот радиус-вектора на полный оборот 2π приводит к той же точке на плоскости. Поэтому все аргументы имеют вид φ + 2πk, где k ∈ Z.
Как определить четверть, в которой находится аргумент?
Четверть определяют по знакам координат a и b: a отвечает за горизонтальное направление, b — за вертикальное. Например, при a < 0 и b > 0 точка находится во второй четверти.
Можно ли записать тригонометрическую форму с отрицательным модулем?
В стандартной записи нет: модуль r = |z| неотрицателен, а для ненулевого числа положителен. Отрицательный множитель можно преобразовать, изменив угол на π, но это уже не стандартный выбор модуля.
Как найти тригонометрическую форму числа, если его действительная часть равна нулю?
Точка лежит на мнимой оси. При b > 0 аргумент равен π/2, а при b < 0 можно взять −π/2; модуль равен |b|.
Есть ли аргумент у комплексного числа ноль?
Нет. У числа 0 радиус-вектор имеет нулевую длину и не задаёт определённого направления, поэтому аргумент нуля не определён.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
