4. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами

Определения и обозначения

Квадратным корнем из комплексного числа z называют число w, для которого w² = z. Иначе говоря, при возведении w в квадрат получается z. Если z ≠ 0, у него два квадратных корня: w и −w, поскольку квадраты противоположных чисел одинаковы.

Запишем число под корнем как z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Искомый корень представим в виде w = x + yi с действительными x и y. Такая запись позволяет отдельно сравнить действительные и мнимые части и свести поиск комплексного корня к уравнениям для обычных действительных чисел.

Квадратным уравнением с комплексными коэффициентами называют уравнение вида az² + bz + c = 0, где a, b и c — комплексные числа, причём a ≠ 0. Условие на a нужно, чтобы уравнение действительно было квадратным: при a = 0 его степень становится ниже. Решать его можно знакомой формулой, но дискриминант и его квадратный корень могут быть комплексными.

Как это устроено

Чтобы найти корень z = a + bi, подставим w = x + yi в равенство w² = z. Раскрытие квадрата даёт x² − y² + 2xyi = a + bi, потому что i² = −1. У двух комплексных чисел равны соответствующие действительные и мнимые части, поэтому получаем систему x² − y² = a и 2xy = b. Решив её, мы найдём действительную и мнимую части искомого корня.

Для вычислений удобно использовать модуль числа: |z| = √(a² + b²). Если сложить уравнения системы, выйдет x² + y² = a + (x² − y²) = 2x² − a, а также x² + y² = |z|; отсюда x² = (|z| + a)/2. Вычитая первое уравнение системы из равенства x² + y² = |z|, получаем y² = (|z| − a)/2. При b ≠ 0 можно взять x = √((|z| + a)/2), а знак y выбрать так, чтобы 2xy имело знак b.

Если b = 0, число z действительно, и вычисления упрощаются. При a > 0 его корни действительные: ±√a, а при a < 0 — чисто мнимые: ±i√(−a). Для z = 0 равенство w² = 0 возможно только при w = 0, поэтому здесь не пара противоположных ненулевых корней, а один корень.

Для уравнения az² + bz + c = 0 вычисляют дискриминант D = b² − 4ac и применяют формулу z = (−b ± √D)/(2a). Она сохраняется для комплексных коэффициентов, потому что вывод формулы основан на алгебраических преобразованиях, верных и для комплексных чисел. Отличие в том, что √D теперь нужно найти как корень комплексного числа.

При D ≠ 0 два значения знака ± дают разные корни, так как квадратный корень из ненулевого D не равен нулю. При D = 0 оба значения совпадают, поэтому уравнение имеет один корень кратности два. Проверка подстановкой нужна, чтобы обнаружить ошибки в знаках, раскрытии скобок или вычислении дискриминанта.

Извлечение квадратного корня из z = a + bi

В таблице x и y задают один корень x + yi, а знак ± указывает на пару противоположных корней. Для b ≠ 0 берите положительный x и выбирайте знак y по знаку b, чтобы условие 2xy = b выполнялось. Модуль вычисляют по формуле |z| = √(a² + b²).

Разбор задач

Найти квадратные корни числа 3 + 4i

Представим искомый корень как x + yi и решим систему x² − y² = 3, 2xy = 4. Сначала найдём квадраты частей: |3 + 4i| = 5, поэтому x² = (5 + 3)/2 = 4, y² = (5 − 3)/2 = 1. Знак мнимой части выбираем по условию 2xy = 4.

1. Берём x = 2, а из 2xy = 4 получаем y = 1.
2. Первый корень равен 2 + i; второй — противоположное число −2 − i.
3. Проверяем: (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i. Квадрат противоположного числа будет таким же.

Ответ: 2 + i и −2 − i.

Найти квадратные корни числа −7 + 24i

Здесь удобнее сразу использовать модуль и формулы для x² и y². Модуль равен √(49 + 576) = 25, поэтому x² = (25 − 7)/2 = 9, а y² = (25 + 7)/2 = 16. Поскольку коэффициент при i положителен, у выбранного корня с x > 0 мнимая часть тоже положительна.

1. Получаем x = 3 и y = 4.
2. Один корень — 3 + 4i, второй — −3 − 4i.
3. Проверяем: (3 + 4i)² = 9 + 24i − 16 = −7 + 24i. Следовательно, оба числа подходят.

Ответ: 3 + 4i и −3 − 4i.

Решить уравнение z² − (1 + i)z + i = 0

Старший коэффициент равен 1, поэтому можно сразу применять формулу корней. Дискриминант вычисляем с учётом i² = −1: D = (1 + i)² − 4i = 2i − 4i = −2i. Теперь нужно найти квадратный корень из D.

1. Проверяем, что (1 − i)² = 1 − 2i + i² = −2i, значит √D = ±(1 − i).
2. По формуле z = (1 + i ± (1 − i))/2 получаем z₁ = 1 и z₂ = i.
3. Подстановка даёт для z = 1 значение 1 − (1 + i) + i = 0, а для z = i значение −1 − (1 + i)i + i = 0.

Ответ: z = 1 и z = i.

Типичные ошибки

• Считать, что у ненулевого комплексного числа только один квадратный корень. Так ошибаются, забывая, что (−w)² = w²; проверяйте найденный корень и сразу записывайте его противоположное число.

• Выбирать знак мнимой части произвольно. Это нарушает условие 2xy = b; после вычислений проверьте знак произведения и сравните его со знаком b.

• Применять формулу корней, не проверив старший коэффициент. Если он равен нулю, уравнение уже не квадратное, а если он ненулевой, делить на него можно; перед вычислением убедитесь, что это условие выполнено.

• Ошибаться в знаках комплексного дискриминанта или не проверять корни. Причина часто в том, что забывают i² = −1; пересчитайте квадрат и произведение отдельно, затем подставьте ответы в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для извлечения корня нужны действия с комплексными числами, их сопряжение и модуль, а для решения квадратного уравнения — знакомая формула корней. Поэтому полезно уверенно раскрывать скобки и помнить, что i² = −1. Найденные корни пригодятся при решении уравнений и дальнейшем изучении комплексных чисел. В частности, они связаны с переходом к тригонометрической и показательной формам, где комплексное число описывают через модуль и аргумент.

Что запомнить

• Чтобы найти корень a + bi, положите его равным x + yi и приравняйте действительные и мнимые части.
• Для z = a + bi выполняется |z| = √(a² + b²).
• При z ≠ 0 квадратные корни противоположны друг другу.
• Знак мнимой части выбранного корня согласуйте со знаком b в z = a + bi.
• Формула корней квадратного уравнения применима и при комплексных коэффициентах.
• При нулевом дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень кратности два.