3. Сопряжённые комплексные числа

Определения и обозначения

Если z = a + bi, где a и b — действительные числа, то сопряжённым к z называют число z̄ = a − bi. При переходе к сопряжённому действительная часть сохраняется, а знак мнимой части меняется. Например, для 4 + 3i сопряжённое число равно 4 − 3i. Это обозначение позволяет коротко записывать преобразования, в которых действительные и мнимые части взаимодействуют по простым правилам.

В записи z = a + bi число a называют действительной частью и обозначают Re z, а число b — мнимой частью и обозначают Im z. Мнимая часть — именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi: если z = 2 − 5i, то Im z = −5. Это различие нужно, чтобы правильно пользоваться формулами для суммы, разности и произведения комплексных чисел. По значениям Re z и Im z можно однозначно восстановить число z.

Комплексное сопряжение — это соответствие, которое каждому числу z = a + bi ставит в соответствие число z̄ = a − bi. Иными словами, оно действует на любое комплексное число по одному правилу: не меняет действительную часть и меняет знак коэффициента при i. Сопряжение удобно применять не только к отдельным числам, но и к выражениям с ними. Например, оно помогает получить действительное произведение или преобразовать дробь с комплексным знаменателем.

Как это устроено

Комплексное число z = a + bi изображают точкой с координатами (a; b) на комплексной плоскости: по горизонтали откладывают действительную часть, по вертикали — мнимую. Число z̄ = a − bi имеет координаты (a; −b). У этих точек одинаковая горизонтальная координата, но противоположные вертикальные, поэтому они зеркально расположены относительно действительной оси. Именно геометрическое отражение объясняет, почему при сопряжении сохраняется действительная часть и меняется знак мнимой.

Рассмотрим сумму z + z̄: при сложении a + bi и a − bi коэффициенты при i взаимно уничтожаются, и остаётся 2a. В разности z − z̄ действительные части сокращаются, а мнимые дают bi − (−bi) = 2bi. Поэтому сумма сопряжённых чисел действительна, а их разность является чисто мнимым числом. Эти равенства также позволяют выразить действительную и мнимую части через z и z̄.

Чтобы найти произведение, раскроем скобки: (a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² + b², поскольку i² = −1. Мнимые слагаемые при раскрытии скобок сокращаются, поэтому результат действителен. Модуль числа z — это расстояние от точки (a; b) до начала координат, а по теореме Пифагора |z|² = a² + b². Значит, z z̄ = |z|², и произведение неотрицательно, поскольку является суммой квадратов.

Свойства сопряжения суммы, разности и произведения проверяются раскрытием скобок. Пусть z = a + bi, а w = c + di: сопряжённое сумме равно (a + c) − (b + d)i, то есть z̄ + w̄; для разности получается (a − c) − (b − d)i, то есть z̄ − w̄. Для произведения zw = (ac − bd) + (ad + bc)i, поэтому его сопряжённое равно (ac − bd) − (ad + bc)i и совпадает с z̄w̄. Эти правила дают возможность переносить сопряжение на выражения, не вычисляя сначала их значение.

Пусть многочлен P имеет действительные коэффициенты и P(z) = 0. При подстановке комплексного числа сопряжение каждого слагаемого сохраняет действительные коэффициенты, поэтому P(z̄) = overline{P(z)} = 0. Значит, если корень невещественный, рядом с ним обязательно есть сопряжённый корень. Если же корень действительный, он совпадает со своим сопряжённым, так что отличной от него пары не возникает.

Сопряжение комплексного числа: определения и свойства

В таблице собраны основные формулы и их непосредственные следствия. Если нужно вычислить выражение, сначала определите, какое правило подходит: например, для произведения используйте z z̄ = |z|². Условие z = z̄ помогает быстро проверить, является ли число действительным.

Разбор задач

Задача 1. Для z = 3 − 4i найдите z̄, z + z̄, z − z̄ и z z̄. Сначала выделим действительную часть a = 3 и мнимую часть b = −4. Затем применим определение сопряжённого числа, а в остальных выражениях будем аккуратно учитывать знак минус перед мнимой частью.

1. Меняем знак у коэффициента при i: z̄ = 3 + 4i.
2. Складываем: z + z̄ = (3 − 4i) + (3 + 4i) = 6.
3. Вычитаем: z − z̄ = (3 − 4i) − (3 + 4i) = −8i.
4. Перемножаем: z z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25.

Ответ: z̄ = 3 + 4i, z + z̄ = 6, z − z̄ = −8i, z z̄ = 25. Проверка по формулам даёт 2 Re z = 6, 2i Im z = −8i и |z|² = 3² + (−4)² = 25. Так можно заметить ошибку, если при вычитании потерян знак.

Задача 2. Упростите дробь (2 + 3i)/(1 − i), умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю. Сопряжённое к 1 − i — это 1 + i. Такое умножение не меняет дробь, потому что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же ненулевое число.

1. Домножаем дробь: ((2 + 3i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)).
2. В знаменателе используем произведение сопряжённых: (1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2.
3. Раскрываем числитель: (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = −1 + 5i.
4. Делим обе части числителя на 2: получаем −½ + 5/2 i.

Ответ: −½ + 5/2 i. Знаменатель стал действительным именно потому, что мы умножили его на сопряжённое число. При проверке убедитесь, что в числителе учтено i² = −1.

Задача 3. Известно, что 2 − i — корень многочлена x³ + ax² + bx + c с действительными коэффициентами. Укажите другой корень. Здесь не нужно подставлять число в многочлен и вычислять неизвестные a, b и c: достаточно использовать связь корней с действительными коэффициентами.

1. Определяем сопряжённое к данному корню: к 2 − i сопряжённым является 2 + i.
2. Поскольку все коэффициенты многочлена действительны, сопряжённое к корню число также является корнем.

Ответ: 2 + i. Корень 2 − i невещественный, поэтому он отличен от своего сопряжённого. Если бы исходный корень был действительным, его сопряжённое совпало бы с ним.

Типичные ошибки

Иногда к a + bi записывают сопряжённое −a + bi, меняя знак действительной части. Ошибка возникает, когда правило запоминают как «поменять знак у числа», не уточняя, у какой именно части. При проверке сравните действительные части: у числа и его сопряжённого они должны совпадать.

Другая путаница — считать Im(a + bi) равной bi. Мнимая часть по определению является действительным коэффициентом при i, тогда как bi — слагаемое числа. Чтобы проверить ответ, запишите отдельно Re z = a и Im z = b; например, у 2 − 5i мнимая часть равна −5.

При вычислении z z̄ порой оставляют мнимое слагаемое или получают выражение вида a² − b². Причина — ошибки при раскрытии скобок или забытый факт i² = −1. Перемножьте скобки по членам: смешанные слагаемые сократятся, а −b²i² превратится в +b²; итог должен быть действительным и неотрицательным.

Неверно утверждать, что сопряжённые корни обязательно различны. Такое рассуждение подходит только для невещественного корня, у которого коэффициент при i не равен нулю. Если мнимая часть равна нулю, число совпадает со своим сопряжённым; проверить это можно по условию z = z̄ или Im z = 0.

Связь с другими темами

Чтобы работать с сопряжением, нужно уверенно записывать комплексное число в виде a + bi, сравнивать действительные и мнимые части и пользоваться равенством i² = −1. Эти навыки позволяют раскрывать скобки и проверять вычисления. Сопряжение особенно полезно при делении комплексных чисел: умножение на сопряжённое превращает знаменатель в действительное число. Оно также связано с вычислением модуля через равенство z z̄ = |z|² и с изучением корней многочленов, коэффициенты которых действительны.

Что запомнить

• Если z = a + bi, то z̄ = a − bi.
• Re z̄ = Re z, а Im z̄ = −Im z.
• z + z̄ = 2 Re z.
• z − z̄ = 2i Im z.
• z z̄ = |z|² = a² + b².
• Число z действительно тогда и только тогда, когда z = z̄.
• Невещественный корень многочлена с действительными коэффициентами имеет сопряжённый корень.