"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Комплексные числа расширяют множество действительных чисел: в их записи появляется мнимая единица i, для которой i² = −1. Любое комплексное число имеет вид a + bi, где a и b — действительные числа. С такими числами можно выполнять арифметические действия, если отдельно следить за действительной и мнимой частями. Для деления удобно использовать сопряжённое число: этот приём помогает получить действительный знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Среди действительных чисел такого числа нет: квадрат положительного или отрицательного числа неотрицателен, как и квадрат нуля. Поэтому i вводят как новый объект, чтобы можно было работать с выражениями, содержащими корень из отрицательного числа.
Комплексным числом называют выражение a + bi, где a и b — действительные числа. Число a — действительная часть, а b — мнимая часть комплексного числа. Мнимая часть — именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi; это различие удобно помнить при сравнении чисел и выполнении действий.
Два комплексных числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда одновременно a = c и b = d. Иными словами, должны совпасть отдельно числа без i и коэффициенты при i. Это правило позволяет свести равенство комплексных чисел к двум обычным равенствам действительных чисел.
Для числа a + bi сопряжённым называют число a − bi; его обозначают чертой сверху: z̄, если исходное число обозначено z. При сопряжении действительная часть сохраняется, а знак мнимой части меняется. Такие числа связаны тем, что их произведение равно a² + b², поэтому сопряжение помогает при делении.
В действительных числах уравнение x² = −1 не имеет решения, ведь квадрат любого действительного числа не меньше нуля. Чтобы не ограничиваться такими уравнениями, вводят мнимую единицу i с условием i² = −1. Тогда выражения с корнями из отрицательных чисел можно записывать через i: например, √−9 = 3i. Так появляются числа вида a + bi, которые объединяют действительную и мнимую части в одной записи.
Равенство комплексных чисел опирается на то, что действительная и мнимая части — независимые составляющие записи. Если a + bi = c + di, то разность этих чисел равна (a − c) + (b − d)i и должна быть нулём. Нулю равенство соответствует только при нулевых действительной и мнимой частях: a − c = 0 и b − d = 0. Поэтому нельзя проверить равенство только по числам без i — нужно сравнить оба компонента.
При сложении и вычитании раскрывать скобки недостаточно: слагаемые одного типа нужно объединить отдельно. Действительные части складываются или вычитаются между собой, и так же поступают с коэффициентами при i. Например, в сумме (a + bi) + (c + di) части без i дают a + c, а мнимые — (b + d)i. Такое правило сохраняет форму a + bi и позволяет сразу прочитать действительную и мнимую части результата.
Для умножения раскрывают скобки по обычному правилу, как при работе с многочленами. Затем слагаемые с i² упрощают по определению i² = −1, а слагаемые с i оставляют в мнимой части. Поэтому (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd i² = (ac − bd) + (ad + bc)i. Отрицательное bd возникает именно из замены i² на −1, а не из отдельного правила знаков.
При делении на z₂ = c + di сначала убеждаются, что z₂ ≠ 0, то есть c и d не равны нулю одновременно. Чтобы убрать i из знаменателя, дробь умножают и на числитель, и на знаменатель на сопряжённое c − di. В знаменателе получается (c + di)(c − di) = c² + d²: смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, а i² заменяется на −1. При ненулевом делителе c² + d² положительно, и результат можно представить в виде действительной части плюс мнимая часть.
| Операция | Правило для z₁ = a + bi и z₂ = c + di | Результат |
|---|---|---|
| Сложение | (a + bi) + (c + di) | (a + c) + (b + d)i |
| Вычитание | (a + bi) − (c + di) | (a − c) + (b − d)i |
| Умножение | (a + bi)(c + di) | (ac − bd) + (ad + bc)i |
| Деление при z₂ ≠ 0 | (a + bi)/(c + di) | ((ac + bd) + (bc − ad)i)/(c² + d²) |
| Сопряжение числа a + bi | z̄ | a − bi |
Сначала определите, какая операция нужна, а затем подставьте действительные части и коэффициенты при i в соответствующую строку. После вычислений приведите результат к виду a + bi: это помогает увидеть обе части и проверить равенство или ответ. Для деления отдельно проверьте, что знаменатель не равен нулю.
Вычислим (3 + 2i) + (1 − 5i) и (3 + 2i) − (1 − 5i). В обеих операциях удобно сгруппировать числа без i и коэффициенты при i. Во втором выражении скобки вычитаются целиком, поэтому знак меняется у каждого слагаемого внутри них. После этого отдельно упрощаем действительную и мнимую части.
Ответ: 4 − 3i и 2 + 7i.
Теперь вычислим (2 + 3i)(1 − 4i). Перед упрощением раскроем скобки, чтобы не потерять произведения мнимых слагаемых. Затем заменим i² на −1 и соберём действительную и мнимую части по отдельности. Такой порядок особенно важен для слагаемого, в котором перемножаются оба коэффициента при i.
Ответ: 14 − 5i.
Вычислим (5 + i)/(2 − 3i). Знаменатель содержит мнимую часть, поэтому умножим числитель и знаменатель на сопряжённое ему число 2 + 3i. Это не меняет значение дроби, потому что мы умножаем её на единицу, но превращает знаменатель в действительное число. После умножения останется разделить обе части числителя на найденный знаменатель.
Ответ: 7/13 + (17/13)i.
Ошибка: считать, что i² = 1. Её допускают, когда переносят привычные свойства действительных чисел на новый символ и забывают его определение. При умножении заменяйте именно i² на −1; полезно отдельно подчеркнуть это слагаемое до дальнейших вычислений. Если в ответе произведения возник знак, который не согласуется с этой заменой, проверьте раскрытие скобок.
Ошибка: перемножать действительные и мнимые части при сложении или вычитании. Так бывает, когда путают правила умножения с правилами сложения. Сгруппируйте отдельно слагаемые без i и коэффициенты при i, а затем выполните обычные действия внутри каждой группы. Проверка проста: сумма или разность двух записей a + bi должна снова иметь вид действительная часть плюс коэффициент при i.
Ошибка: объявлять комплексные числа равными после проверки только действительных частей. Совпадение чисел без i не гарантирует совпадение всего выражения, если коэффициенты при i разные. Сравнивайте обе пары: a с c и b с d. Для самопроверки найдите разность чисел: она должна иметь и нулевую действительную, и нулевую мнимую части.
Ошибка: делить на комплексное число, не проверив знаменатель и не избавившись от его мнимой части. Можно забыть, что деление на ноль не определено, или оставить результат в виде дроби с мнимым знаменателем. Убедитесь, что c и d не равны нулю одновременно, затем умножьте числитель и знаменатель на c − di. В конце проверьте знаменатель c² + d²: для ненулевого делителя он должен быть положительным.
Для вычислений с комплексными числами нужны действия с действительными числами, раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения. Именно эти навыки помогают аккуратно перемножать выражения и упрощать знаменатель при делении. Комплексные числа позволяют находить решения квадратных уравнений, у которых нет действительных корней. Позже их можно записывать в тригонометрической форме, связывая алгебраические действия с тригонометрией.
Почему ввели число i, если его нет среди действительных чисел?
Среди действительных чисел нет числа, квадрат которого равен −1: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Введение i² = −1 расширяет числовую систему и позволяет записывать корни из отрицательных чисел и решать уравнения, у которых нет действительных корней.
Может ли действительная часть комплексного числа быть равна нулю?
Да. Например, число 0 + 3i, обычно записываемое как 3i, имеет действительную часть 0. Комплексное число также может иметь нулевую мнимую часть: тогда оно является действительным.
Как проверить, равны ли два комплексных числа?
Запишите оба числа в виде a + bi и c + di. Они равны только тогда, когда одновременно a = c и b = d, то есть совпадают и действительные части, и коэффициенты при i.
Почему при умножении комплексных чисел появляется отрицательное слагаемое?
При раскрытии скобок возникает произведение bi · di = bd · i². Поскольку i² = −1, это слагаемое становится равным −bd и входит в действительную часть результата.
Зачем при делении комплексных чисел умножают на сопряжённое?
Произведение ненулевого комплексного числа на сопряжённое к нему равно действительному числу: (c + di)(c − di) = c² + d². Поэтому после умножения числителя и знаменателя на сопряжённое знаменатель становится действительным.
2. Определение комплексных чисел и операций над ними
