16.2. Сопряженные комплексные числа

Определения и обозначения

Для комплексного числа z = a + bi сопряжённым называют число z̄ = a − bi. Действительная часть a остаётся прежней, а знак коэффициента при i меняется. Это правило позволяет получить сопряжённое прямо из стандартной записи числа и дальше применять его свойства.

Сопряжение комплексного числа — операция, которая каждому z = a + bi ставит в соответствие z̄ = a − bi. Черта сверху над буквой z обозначает, что к числу применили эту операцию. Например, если z = 3 + 2i, то z̄ = 3 − 2i.

В записи z = a + bi число a называют действительной частью и обозначают Re z, а число b — мнимой частью Im z. Мнимая часть — именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Это различие нужно, чтобы правильно менять знак при сопряжении: меняется b, а не действительная часть и не обозначение i.

Как это устроено

Чтобы найти сопряжённое к z = a + bi, оставь a на месте и замени b на −b: z̄ = a − bi. Причина такого правила станет яснее на комплексной плоскости, где a задаёт горизонтальную координату точки, а b — вертикальную. Поэтому при сопряжении меняется только координата, отвечающая за мнимую часть.

Точки, изображающие z = a + bi и z̄ = a − bi, симметричны относительно действительной оси. Отражение относительно этой оси сохраняет расстояние по горизонтали, но переносит точку на такое же расстояние по другую сторону от оси. Поэтому действительная часть остаётся той же, а мнимая меняет знак.

Произведение числа на сопряжённое вычисляется по формуле (a + bi)(a − bi). Это разность квадратов: a² − (bi)², а поскольку i² = −1, получается a² + b². Мнимые слагаемые взаимно уничтожаются, поэтому результат действительный; он неотрицателен, так как является суммой квадратов.

Сопряжение сохраняет правила сложения и умножения: (z₁ + z₂)̄ = z̄₁ + z̄₂ и (z₁z₂)̄ = z̄₁z̄₂. Для суммы это следует из того, что при сложении действительные части складываются отдельно от коэффициентов при i, а их знаки затем меняются. Для произведения правило следует из раскрытия скобок и равенства i² = −1: результат совпадает с произведением сопряжённых множителей.

Модуль комплексного числа — расстояние от соответствующей точки до начала координат; для z = a + bi его квадрат равен a² + b². Поэтому z·z̄ = |z|². Это же свойство удобно при делении: если умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое знаменателю, значение дроби не изменится, а знаменатель станет действительным.

Сопряжённое число и его основные свойства

Таблица помогает выбрать формулу по тому, что требуется найти: сопряжённое, сумму, произведение или модуль. В строках с z = a + bi подставляй действительную часть a и коэффициент b при i. При делении пользуйся строкой о произведении: она объясняет, почему знаменатель после умножения на сопряжённое становится действительным.

Разбор задач

Задача 1. Найти числа, сопряжённые числам 5 − 3i и −2i. Сначала запишем второе число в форме a + bi: у него действительная часть равна нулю. Затем в обоих случаях оставим действительную часть и изменим знак коэффициента при i.

1. Для 5 − 3i действительная часть равна 5, коэффициент при i равен −3. Поэтому сопряжённое — 5 + 3i.
2. Число −2i можно записать как 0 − 2i. После смены знака коэффициента при i получаем 0 + 2i, то есть 2i.

Ответ: 5 + 3i и 2i.

Задача 2. Для z = 2 + 3i вычислить z̄, z + z̄ и z·z̄. Найдём сопряжённое по определению, а затем подставим его в сумму и произведение. Проверка состоит в том, что оба результата должны оказаться действительными.

1. Меняем знак коэффициента при i: z̄ = 2 − 3i.
2. Складываем: z + z̄ = (2 + 3i) + (2 − 3i) = 4. Мнимые слагаемые сократились.
3. Перемножаем: z·z̄ = (2 + 3i)(2 − 3i) = 2² + 3² = 13.

Ответ: z̄ = 2 − 3i, z + z̄ = 4, z·z̄ = 13.

Задача 3. Представить дробь (3 + 2i)/(1 − i) в виде a + bi. Чтобы убрать мнимую часть из знаменателя, умножим дробь на сопряжённое к 1 − i. Важно умножить на него и числитель, и знаменатель: так дробь не изменит значения.

1. Сопряжённое к 1 − i равно 1 + i. Умножаем: ((3 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)).
2. Числитель раскрываем: 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i, поскольку i² = −1.
3. Знаменатель равен 1 − i² = 2. Делим каждую часть числителя на 2: (1 + 5i)/2 = ½ + 5/2 i.

Ответ: ½ + 5/2 i.

Типичные ошибки

Иногда меняют знак действительной части, получая для a + bi выражение −a + bi. Так происходит, если перепутать сопряжение с изменением знака всего числа. Проверь себя: в сопряжённом должна остаться та же горизонтальная координата, а верная формула — a − bi.

Другая ошибка — записывать Im z = bi. Мнимая часть является действительным числом b, а bi — мнимое слагаемое. Путаница возникает из-за слова «мнимая»; проверка простая: в записи z = a + bi коэффициент при i и есть Im z.

Сопряжённое не всегда отличается от исходного: для действительного числа мнимая часть равна нулю, поэтому смена её знака ничего не меняет. Ошибочно считать, что над любым числом обязательно получается другое число. Подставь b = 0 в формулу: a + 0i и a − 0i совпадают.

При делении нельзя умножать на сопряжённое только числитель: тогда значение дроби изменится. Ошибку допускают, сосредоточившись на том, как убрать i из знаменателя. Чтобы проверить действие, вспомни: дробь умножают на единицу, то есть на отношение сопряжённого к самому себе, поэтому множитель должен присутствовать сверху и снизу.

Связь с другими темами

Для работы с сопряжёнными нужно уметь записывать комплексное число в виде z = a + bi, распознавать равенство комплексных чисел и выполнять действия с мнимой единицей i. Эти знания позволяют отдельно работать с действительной и мнимой частями и правильно раскрывать скобки. Сопряжение затем упрощает деление комплексных чисел и вычисление их модуля. Оно также используется при решении уравнений с комплексными коэффициентами.

Что запомнить

• Если z = a + bi, то z̄ = a − bi.
• Сопряжённые числа отличаются знаками мнимых частей.
• Действительное число сопряжено самому себе.
• z + z̄ = 2 Re z.
• z·z̄ = |z|² = a² + b².
• Сопряжённое суммы равно сумме сопряжённых.