16.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Такая запись объединяет обычную действительную часть и слагаемое с i. Она нужна, чтобы расширить множество действительных чисел и выполнять действия с корнями отрицательных чисел.

Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Это специальный объект, введённый для работы с числами, которых нет среди действительных. Из равенства i² = −1 следует i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1.

Действительная часть комплексного числа z = a + bi — число a; обозначается Re z = a. Она показывает, какое действительное слагаемое входит в число без множителя i. Например, в числе 4 − 7i действительная часть равна 4.

Мнимая часть числа z = a + bi — число b; обозначается Im z = b. Это именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Поэтому для числа 4 − 7i мнимая часть равна −7.

Как это устроено

Мнимую единицу вводят потому, что в действительных числах уравнение x² = −1 не имеет решения: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Обозначение i позволяет считать такой корень новым числом и записывать √−a = √a·i при a > 0. Благодаря этому алгебраическая система становится шире и включает решения уравнений, которых не было среди действительных чисел.

Два действительных числа a и b образуют комплексное число a + bi: первое становится действительной частью, а второе — коэффициентом при мнимой единице. Форму a + bi называют алгебраической, потому что число представлено через сложение и умножение, знакомые по обычной алгебре. Например, 3 и −2 задают число 3 − 2i.

Равенство комплексных чисел проверяют по их единственным коэффициентам в форме a + bi. Если a + bi = c + di, то a = c и b = d; совпадение только одной части недостаточно. Такое правило позволяет сводить равенство комплексных выражений к двум равенствам действительных чисел.

При сложении и вычитании группируют одноимённые части, потому что действительные слагаемые не смешиваются с коэффициентами при i. Поэтому (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, а при вычитании знаки меняются у обеих частей второго числа. Например, сначала складывают a и c, затем b и d.

Произведение находят так же, как произведение многочленов: раскрывают скобки и перемножают каждый член с каждым. Возникает слагаемое с i², которое заменяют на −1, поэтому оно становится действительным. После этого приводят подобные слагаемые и получают новую запись A + Bi.

Комплексное число в алгебраической форме

Таблица помогает быстро определить, какая часть числа рассматривается и какое правило нужно применить. Сначала приводите выражение к форме a + bi, а затем сравнивайте или обрабатывайте коэффициенты.

При умножении можно пользоваться готовой формулой, но при первых решениях надёжнее раскрывать скобки: так меньше риск потерять знак перед i².

Разбор задач

Задача 1. Записать число −3 + 5i в алгебраической форме и указать его части

Число уже записано как сумма действительного слагаемого и слагаемого с i. Нужно выделить коэффициент при i, не принимая всё выражение 5i за мнимую часть.

1. Сравниваем запись −3 + 5i с общей формой z = a + bi.
2. Получаем a = −3 и b = 5.
3. Следовательно, Re z = −3, а Im z = 5.

Ответ: алгебраическая форма — z = −3 + 5i; действительная часть −3, мнимая часть 5.

Задача 2. Найти сумму и разность чисел 2 − 3i и −4 + i

Обозначим числа z₁ = 2 − 3i и z₂ = −4 + i. При обоих действиях отдельно обработаем действительные части и коэффициенты при i.

1. Сумма: z₁ + z₂ = (2 + (−4)) + (−3 + 1)i = −2 − 2i.
2. Разность: z₁ − z₂ = (2 − (−4)) + (−3 − 1)i.
3. После вычисления получаем z₁ − z₂ = 6 − 4i.

Ответ: сумма равна −2 − 2i, разность равна 6 − 4i.

Задача 3. Вычислить произведение (2 + 3i)(1 − 2i)

Здесь нельзя перемножать только коэффициенты и отдельно оставлять i. Раскроем скобки, а затем заменим квадрат мнимой единицы на −1.

1. Раскрываем скобки: (2 + 3i)(1 − 2i) = 2 − 4i + 3i − 6i².
2. Подставляем i² = −1: 2 − 4i + 3i − 6(−1).
3. Приводим подобные слагаемые: 2 + 6 − i = 8 − i.

Ответ: (2 + 3i)(1 − 2i) = 8 − i.

Типичные ошибки

Ошибка — считать Im(a + bi) равным bi. Её допускают, потому что видят мнимое слагаемое целиком, но мнимая часть является только коэффициентом при i. Проверьте себя: уберите i из записи и оставьте число b.

Нельзя приравнивать комплексные числа только по одной части. Например, 2 + 3i и 2 − 4i имеют одинаковые действительные части, но сами числа не равны. Сравнивайте одновременно действительные части и коэффициенты при i.

При умножении иногда забывают заменить i² на −1 или ошибочно используют i² = 1. Причина обычно в механическом применении правил степеней без учёта определения мнимой единицы. После раскрытия скобок отдельно найдите все слагаемые с i² и замените их.

При сложении нельзя складывать действительную часть одного числа с мнимой частью другого. Например, в выражении (a + bi) + (c + di) числа a и c образуют одну группу, а b и d — другую. Запишите промежуточный результат с двумя скобками: (a + c) + (b + d)i.

Связь с другими темами

До изучения комплексных чисел нужны действительные числа и навыки действий с одночленами и многочленами. Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и работа со знаками напрямую используются при сложении и умножении чисел a + bi.

Алгебраическая форма пригодится при решении уравнений с комплексными корнями. Позже комплексные числа можно будет представлять и другими способами, но форма a + bi остаётся удобной для вычислений и преобразований.

Что запомнить

• Алгебраическая форма комплексного числа: z = a + bi.
• В этой записи a и b — действительные числа, i² = −1.
• Re z = a, а Im z = b.
• Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты при i.
• При сложении и вычитании отдельно выполняют действия с действительными частями и коэффициентами при i.
• При умножении используют равенство i² = −1.