"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Комплексное число имеет вид a + bi, где i² = −1. Введение мнимой единицы позволяет решать уравнения, у которых нет действительных корней, например x² + 1 = 0. В алгебраической записи удобно складывать, вычитать и умножать такие числа, а на комплексной плоскости каждому числу соответствует точка с координатами (a; b). Сопряжённые числа отличаются знаком мнимой части и располагаются симметрично относительно действительной оси.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число — это число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, для которой i² = −1. Такая запись объединяет обычную числовую часть и часть с i. Она нужна, чтобы работать с уравнениями, не имеющими решений среди действительных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа — запись z = a + bi. Число a называют действительной частью и обозначают Re z, а число b — мнимой частью и обозначают Im z. Это обозначение помогает отдельно учитывать два коэффициента при вычислениях и не путать b с выражением bi.
Комплексная плоскость — плоскость, у которой горизонтальная ось соответствует действительным числам, а вертикальная — коэффициентам при i. Числу a + bi соответствует точка с координатами (a; b). Такое изображение позволяет видеть положение числа и сравнивать комплексные числа геометрически.
Сопряжёнными называют числа a + bi и a − bi. У них совпадают действительные части, а мнимые части отличаются только знаком. На комплексной плоскости их точки симметричны относительно действительной оси, поэтому сопряжение удобно представлять как отражение.
Мнимую единицу i вводят потому, что среди действительных чисел нет числа, квадрат которого равен −1: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому уравнение x² + 1 = 0 нельзя решить в действительных числах. Если принять i² = −1, его корнями становятся i и −i, а числовая система расширяется без изменения привычных правил вычислений, кроме необходимости учитывать это новое равенство.
При сложении комплексных чисел отдельно складывают действительные части и коэффициенты при i: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. При вычитании так же отдельно находят разности: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i. Такой порядок работает потому, что одинаковые слагаемые можно сгруппировать, как при приведении подобных членов в алгебраическом выражении. В результате снова получается число вида a + bi.
Умножение выполняют по распределительному закону: каждый член первой скобки умножают на каждый член второй. Для (a + bi)(c + di) получаем ac + adi + bci + bd i². Затем используют i² = −1, поэтому bd i² превращается в −bd, а оставшиеся слагаемые группируются: (ac − bd) + (ad + bc)i. Именно замена квадрата i отрицательной единицей определяет знак действительной части произведения.
Запись z = a + bi переводится в точку (a; b): действительную часть откладывают по горизонтали, а коэффициент при i — по вертикали. Если b = 0, точка лежит на действительной оси, значит, число действительное. Если a = 0, точка лежит на вертикальной мнимой оси, а число bi называют чисто мнимым; ноль принадлежит обеим осям. Координатное изображение помогает не перепутать порядок частей и увидеть, где расположено число.
При сопряжении a + bi превращается в a − bi: действительная часть остаётся прежней, а знак мнимой части меняется. Поэтому точка (a; b) переходит в точку (a; −b), расположенную на таком же расстоянии от действительной оси, но с другой стороны от неё. Это геометрическое отражение объясняет, почему сопряжённые числа имеют одинаковую горизонтальную координату. Если число действительное, оно совпадает со своим сопряжённым, поскольку b = 0.
| Понятие или действие | Алгебраическая запись | Геометрическая интерпретация |
|---|---|---|
| Комплексное число | z = a + bi | Точка (a; b) на комплексной плоскости |
| Действительная и мнимая части | Re z = a, Im z = b | Координата по горизонтали a и по вертикали b |
| Сложение и вычитание | (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i | Координаты складывают или вычитают отдельно |
| Умножение | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | Результат изображают точкой с найденными координатами |
| Сопряжённое число | ā = a − bi для z = a + bi | Отражение точки (a; b) в точку (a; −b) |
| Действительное и чисто мнимое число | b = 0: a; a = 0: bi | Точка лежит соответственно на действительной или мнимой оси |
Сначала найди алгебраическую форму и выдели a и b, затем используй соответствующую строку таблицы. Для действий удобно проверять отдельно действительную и мнимую части, а для построения — ставить их на нужные оси. При сопряжении сравни координаты: горизонтальная не меняется, вертикальная получает противоположный знак.
Задача 1. Для z = 3 − 2i укажи действительную и мнимую части и изобрази число на комплексной плоскости. Нужно сопоставить запись с общим видом a + bi, учитывая, что перед i стоит коэффициент −2. Координаты точки записываются в том же порядке: действительная, затем мнимая часть.
Сравни z = 3 − 2i с z = a + bi: получаем a = 3 и b = −2. Знак минус относится к коэффициенту при i, поэтому мнимая часть отрицательна.
Запиши Re z = 3 и Im z = −2. Для изображения используй координаты (3; −2): от начала координат двигайся на 3 единицы вправо и на 2 вниз.
Ответ: Re z = 3, Im z = −2; числу соответствует точка (3; −2).
Задача 2. Вычисли (2 + 3i) + (−5 + i) и (2 + 3i)(−5 + i). Сначала удобно отдельно рассмотреть сложение: в нём собирают подобные части. При умножении раскрывают скобки, а затем обязательно заменяют i² на −1.
Сложи действительные части: 2 + (−5) = −3, а коэффициенты при i: 3 + 1 = 4. Значит, сумма равна −3 + 4i.
Раскрой скобки в произведении: −10 + 2i − 15i + 3i². Замени 3i² на −3 и объедини действительную и мнимую части: −10 − 3 + (2 − 15)i = −13 − 13i.
Ответ: сумма равна −3 + 4i, произведение равно −13 − 13i.
Задача 3. Даны z₁ = 1 + 2i и z₂ = 3 − i. Найди z₁z₂ и изобрази оба числа, их сумму и произведение на комплексной плоскости. Сначала вычисли результаты в алгебраической форме, затем прочитай действительную и мнимую части как координаты. Так можно проверить, что каждой записи соответствует отдельная точка.
Умножь числа: (1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i². Поскольку i² = −1, получаем 3 + 2 + 5i = 5 + 5i.
Сложи числа: (1 + 2i) + (3 − i) = 4 + i. Исходным числам соответствуют точки (1; 2) и (3; −1), сумме — (4; 1), произведению — (5; 5).
Отметь эти четыре точки, откладывая первую координату по горизонтали, вторую — по вертикали. Сумма расположена в координатах (4; 1), а произведение — выше и правее, в точке (5; 5). Не следует ожидать, что точка произведения получится простым сложением координат исходных точек.
Ответ: z₁z₂ = 5 + 5i; точки чисел — (1; 2), (3; −1), (4; 1) и (5; 5) соответственно.
Ошибка: считать Im(a + bi) равной bi. Её допускают, потому что мнимая часть стоит рядом с i и выглядит как целое слагаемое; однако Im z — только действительный коэффициент b. Проверь себя, выделив запись z = a + bi и указав отдельно число b и выражение bi.
Ошибка: полагать, что i² = 1, или забывать заменить i². При умножении это меняет знак действительного слагаемого, поэтому итог может стать неверным. После раскрытия скобок найди все произведения i на i и явно перепиши каждое как −1.
Ошибка: изображать a + bi точкой (b; a). Такое случается, когда координаты путают с порядком слов «мнимая и действительная»; по принятому соглашению по горизонтали идёт a, по вертикали — b. Проверь точку по двум осям: сначала отложи Re z вправо или влево, затем Im z вверх или вниз.
Ошибка: считать сопряжённым к a + bi число −a + bi. При сопряжении меняется знак только у коэффициента мнимой части, а не у действительной. Для проверки сравни пары координат: у точек сопряжённых чисел первая координата одинакова, вторая противоположна.
Для работы с комплексными числами нужны знакомые действия с действительными числами, раскрытие скобок и чтение координатной плоскости: те же навыки используются при вычислении частей выражения и построении точек. Новое понятие расширяет возможности решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, когда действительных корней нет. В дальнейшем комплексные числа записывают также в тригонометрической форме и изучают другие способы выполнять действия над ними. Геометрическое представление связывает вычисления с расположением точек на плоскости.
Комплексное число записывают в виде a + bi, где i² = −1.
Re(a + bi) = a, а Im(a + bi) = b.
Числу a + bi соответствует точка (a; b) на комплексной плоскости.
При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складывают или вычитают действительные и мнимые части.
При умножении используют равенство i² = −1.
Сопряжённое к a + bi число — a − bi; их точки симметричны относительно действительной оси.
Почему i² равно −1?
Мнимую единицу i определяют как число, квадрат которого равен −1. Так расширяют множество действительных чисел: уравнение x² + 1 = 0 получает решения i и −i. Это не равенство, выводимое из свойств действительных чисел, а исходное определение i.
Чем мнимая часть числа отличается от слагаемого с i?
В записи a + bi мнимая часть Im(a + bi) равна b — обычному действительному коэффициенту. Слагаемое bi называется мнимой составляющей числа и включает множитель i. Например, у числа 3 − 2i мнимая часть равна −2, а мнимая составляющая — −2i.
Как изобразить комплексное число на координатной плоскости?
Для числа a + bi отметь точку с координатами (a; b). По горизонтальной оси откладывают действительную часть a, по вертикальной — мнимую часть b. Например, число 3 − 2i изображается точкой (3; −2).
Почему при умножении комплексных чисел появляется отрицательный знак?
При раскрытии скобок возникает произведение i на i, то есть i². По определению i² = −1, поэтому соответствующее слагаемое становится отрицательным действительным числом. Например, в произведении (a + bi)(c + di) слагаемое bd i² превращается в −bd.
Как быстро построить точку, соответствующую сопряжённому числу?
У числа a + bi сопряжённое число равно a − bi. На плоскости оставь прежнюю горизонтальную координату a, а вертикальную координату b замени на −b. Полученная точка будет зеркальным отражением исходной относительно действительной оси.
§ 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел
