"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
В системе с параметром требуется найти решения не для одного набора коэффициентов, а для всех допустимых значений буквы-параметра. Если зафиксировать её значение, получится обычная система, но при некоторых значениях привычные преобразования меняют смысл: коэффициент может обратиться в ноль, а знаменатель — стать недопустимым. Поэтому исследование ведут по отдельным случаям, проверяют решения в исходной системе и указывают, как меняется их число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параметр — буквенная величина, значение которой при решении считают фиксированным, но затем изменяют и исследуют отдельно. Например, в системе с параметром a сначала решают задачу для выбранного числа a. Это понятие нужно, чтобы описать сразу целое семейство систем, а не одну систему с конкретными коэффициентами.
Система уравнений с параметром — несколько уравнений с неизвестными и параметром, для которых требуется найти решения при разных значениях параметра. При каждом выбранном значении параметра уравнения задают конкретную систему. Такое определение помогает не забыть, что одного решения при одном значении буквы недостаточно для полного ответа.
Решение системы — набор значений неизвестных, одновременно удовлетворяющий всем уравнениям системы при выбранном значении параметра. Например, пара (x; y) должна подходить и к первому, и ко второму уравнению. Это требование позволяет отсеять значения, которые подошли лишь к одному уравнению или появились после преобразований.
Критическое значение параметра — значение, при котором меняется число или вид решений системы либо нарушается область допустимых значений. Так бывает, например, когда коэффициент при неизвестной становится нулём или исчезают допустимые значения под корнем. Такие значения нужно выделять отдельно, потому что общий способ решения при них может перестать работать.
После фиксации значения параметра система становится обычной: буква-параметр выступает как известное число, а неизвестные по-прежнему требуется найти. Но итоговое исследование должно охватить все допустимые значения параметра, поэтому решить систему только для одного выбранного числа недостаточно. В конце ответ обычно разбивают на условия на параметр и указывают, какие решения получаются при каждом условии. Так сохраняется связь между конкретным решением и всей семьёй систем.
Особые случаи возникают там, где меняется возможность преобразования или число корней. Например, коэффициент при неизвестной может обнулиться, определитель линейной системы — стать равным нулю, знаменатель — обратиться в ноль, а выражение под квадратным корнем — стать отрицательным. Эти условия и дают кандидатов на критические значения параметра. Их выделяют заранее, потому что формулы, выведенные при ненулевом коэффициенте, нельзя автоматически применять после его обнуления.
Деление на выражение с параметром требует отдельной проверки, поскольку оно допустимо лишь тогда, когда выражение не равно нулю. Если разделить, не рассмотрев нулевой случай, из рассуждения исчезнет именно та система, в которой делитель обращается в ноль. Поэтому сначала записывают условие ненулевого значения, а затем решают уравнение при этом условии. Нулевое значение подставляют в исходную систему или исследуют отдельно получившиеся уравнения.
Удобно действовать по порядку: проверить ОДЗ (область допустимых значений), найти критические значения параметра, решить общий случай и разобрать каждое особое значение. Такая последовательность нужна, чтобы не смешивать формулы, которые верны при разных условиях. В общем случае можно использовать деление или формулу, но в особом случае исходная система может упроститься иначе. После этого найденные кандидаты проверяют в исходных уравнениях.
В ответе указывают не только сами пары решений, но и то, при каких параметрах они существуют и сколько их. Число решений часто постоянно между соседними критическими значениями, поскольку внутри такого промежутка не меняются условия, от которых оно зависит. Однако это нужно подтвердить решением, а не просто предположить. Отдельно рассматривают сами критические значения, где ситуация может отличаться от обеих сторон промежутка.
| Ситуация после преобразований | Условие | Вывод о решениях | Что сделать |
|---|---|---|---|
| Линейное уравнение с ненулевым коэффициентом при неизвестной | A(a) ≠ 0 | Неизвестная выражается однозначно | Решить уравнение и подставить в остальные уравнения |
| Противоречивое равенство | A(a) = 0, но B(a) ≠ 0 в записи 0·x = B(a) | Система не имеет решений | Зафиксировать соответствующие значения параметра |
| Тождество | A(a) = 0 и B(a) = 0 в записи 0·x = 0 | Данное уравнение не ограничивает неизвестные; число решений определяется остальными уравнениями | Продолжить исследование оставшейся системы |
| Квадратное уравнение с дискриминантом | D > 0, D = 0 или D < 0 | Соответственно два, одно или ни одного действительного корня | Проверить, дают ли найденные корни решения исходной системы |
| Запрещённое значение | Знаменатель равен нулю или подкоренное выражение отрицательно | Значение параметра или найденные значения неизвестных недопустимы | Исключить их либо рассмотреть отдельно в исходной системе |
Таблица помогает понять, что означает результат после преобразования и какое действие выполнить дальше. Сначала проверьте условие во втором столбце, затем используйте вывод из третьего. Если случай особый, не продолжайте автоматически вычисления по формуле общего случая.
Нужно выяснить, при каких значениях a система имеет решение и как его найти. Уравнения отличаются выражениями при x, поэтому вычитание позволит убрать y и сразу увидеть коэффициент, который может обратиться в ноль. Именно его нулевое значение нужно проверить отдельно.
Ответ: при a = 1 решений нет; при a ≠ 1 имеется одно решение: (1/(1 − a); (1 − 2a)/(1 − a)). В общем случае знаменатель не равен нулю именно при указанном условии, а найденная пара удовлетворяет обоим уравнениям.
Здесь удобно не искать x и y по отдельности сразу, а получить уравнение, корнями которого они будут. Для этого используем связь между суммой, суммой квадратов и произведением. Затем дискриминант покажет, сколько возможных значений имеют x и y.
Ответ: две пары при −2 < a < 2; одна при a = ±2; ни одной при |a| > 2. В точках a = ±2 равные корни дают соответственно пары (1; 1) и (−1; −1). Подстановка в сумму квадратов подтверждает, что обе пары допустимы.
Первое уравнение задаёт окружность радиуса 1 с центром в начале координат, второе — прямую. Число точек пересечения зависит от расстояния от центра окружности до прямой: прямая может пройти внутри окружности, коснуться её или оказаться снаружи. Это геометрическое рассуждение можно проверить через дискриминант после подстановки.
Ответ: две точки при |a| > √3, одна при |a| = √3, ни одной при |a| < √3. Переход между случаями происходит при критических значениях a = ±√3. Полученное условие можно также проверить, подставив y = ax + 2 в уравнение окружности и исследовав дискриминант квадратного уравнения.
Деление на выражение с параметром без проверки его нулевых значений приводит к потере отдельных случаев. Так поступают, когда воспринимают параметр как обычный заранее известный коэффициент и не замечают, что он может принять особое значение. Проверка проста: перед делением запишите условие, при котором делитель равен нулю, и исследуйте этот случай отдельно. Если такой разбор отсутствует, решение может быть неполным.
Решение только общего случая оставляет без ответа критические значения параметра. Ошибку допускают, потому что формула общего случая выглядит универсальной, хотя часто была получена при условии ненулевого коэффициента или положительного дискриминанта. Проверьте, какие ограничения использовались на каждом шаге, и подставьте все найденные критические значения в исходную систему. Для каждого из них должен быть отдельный вывод.
Проверка найденных значений только в преобразованной системе может включить посторонние решения. Это случается, если преобразование неравносильно исходному, например при возведении обеих частей в квадрат или при потере ограничений ОДЗ. Чтобы проверить себя, подставьте каждую пару непосредственно во все исходные уравнения и убедитесь, что знаменатели допустимы, а подкоренные выражения удовлетворяют условиям. Не прошедшие проверку значения нужно исключить.
Равенство 0 = 0 не означает автоматически, что у всей системы бесконечно много решений. Оно показывает лишь, что одно преобразованное уравнение стало тождеством и больше не ограничивает неизвестные. Причина ошибки — смешение вывода об одном уравнении с выводом о системе целиком. После появления нулевой строки продолжите исследование остальных уравнений и определите число решений по ним.
Для исследования систем с параметром нужны навыки решения обычных систем, линейных и квадратных уравнений. Также необходимо уметь находить область допустимых значений и работать с дискриминантом: эти знания помогают определить, когда преобразование законно и сколько действительных корней возможно. Равносильные преобразования сохраняют решения, а их условия позволяют не потерять ограничения.
Тот же подход применяют к уравнениям и неравенствам с параметрами, а также при исследовании взаимного расположения графиков. Например, число решений системы часто совпадает с числом точек пересечения графиков её уравнений. Поэтому поиск критических значений помогает решать и задачи о числе корней, даже если они сформулированы не как система.
Чем параметр отличается от неизвестной?
Неизвестные — это величины, значения которых нужно найти в решении системы. Параметр при решении временно считают фиксированным числом, но затем рассматривают разные его значения и выясняют, как они влияют на решения.
Почему нельзя сразу разделить на выражение с параметром?
Выражение может обратиться в ноль при некоторых значениях параметра, а деление на ноль невозможно. Если не проверить эти значения отдельно, можно потерять особые решения или не заметить, что система противоречива.
Как найти значения параметра, при которых число решений меняется?
Найдите выражения, от которых зависит возможность преобразований или число корней: коэффициенты, определители, знаменатели и дискриминанты. Приравняйте их к нулю и отдельно исследуйте полученные значения, а на промежутках между ними решите общий случай.
Что означает появление равенства 0 = 0 после преобразований?
Это тождество: соответствующее уравнение больше не ограничивает неизвестные. Но оно не доказывает, что решений бесконечно много, потому что остальные уравнения системы могут оставить одно решение или не дать ни одного.
Нужно ли проверять найденные решения в исходной системе?
Да, особенно если при решении делили на выражение, возводили уравнение в квадрат или выполняли другие преобразования, способные изменить множество решений. Подстановка в исходную систему помогает исключить посторонние и недопустимые значения.
15.3. Системы уравнений с параметром
