1. Геометрическое изображение комплексных чисел

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, для которой i² = −1. Здесь a задаёт действительную составляющую числа, а bi — мнимое слагаемое. Такая запись позволяет представить комплексное число двумя обычными действительными числами и использовать для него координаты.

В записи z = a + bi действительная часть равна Re z = a, а мнимая часть — Im z = b. Мнимая часть является именно коэффициентом при i, а не произведением bi. Это различие нужно, чтобы правильно записывать координаты числа и не смешивать число b с мнимым слагаемым.

Комплексная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями: действительной и мнимой. Каждая точка на ней соответствует комплексному числу, а оси показывают значения его частей. Такое представление связывает алгебраическую запись с привычной системой координат.

Изображение комплексного числа z = a + bi — точка с координатами (a, b) или радиус-вектор этой точки. Радиус-вектором называют направленный отрезок от начала координат до точки. Оба способа показывают одно и то же положение числа на плоскости, но вектор дополнительно подчёркивает направление.

Как это устроено

В записи z = a + bi указаны два действительных числа: a и b. Поэтому её можно сопоставить упорядоченной паре (a, b), как в обычной прямоугольной системе координат. Именно это позволяет изобразить комплексное число точкой, не изменяя само число и правила действий с ним. Координаты здесь не случайная условность: они непосредственно взяты из записи числа.

Оси выбирают так, чтобы действительную часть откладывать горизонтально, а коэффициент мнимой части — вертикально. Такое соглашение сохраняет привычное расположение координат: первая координата отвечает за движение вправо или влево, вторая — вверх или вниз. Положительные значения действительной части находятся справа от начала координат, отрицательные — слева. Для мнимой части положительное направление идёт вверх, отрицательное — вниз.

Соответствие работает в обе стороны: числу a + bi отвечает точка (a, b), а точке с координатами (a, b) — число a + bi. Например, точка (2, −3) задаёт число 2 − 3i: её первая координата становится действительной частью, а вторая — коэффициентом при i. Поскольку у точки ровно одна пара координат, каждому комплексному числу соответствует ровно одна точка. И наоборот, одинаковые координаты не могут задавать два разных комплексных числа.

Если действительная часть равна нулю, точка лежит на вертикальной мнимой оси; если нулю равна мнимая часть, она лежит на горизонтальной действительной оси. В первом случае число имеет вид bi, во втором — a. Когда обе части равны нулю, получается число 0 и точка в начале координат. Такое расположение следует из координат: нулевая координата означает, что точка не смещена вдоль соответствующей оси.

Например, числу −2 + 3i соответствует точка (−2, 3), а радиус-вектор к ней направлен из начала координат влево и вверх. Число 4 − 2i изображается точкой (4, −2), то есть справа и ниже начала. Отрицательные знаки сохраняются при переходе от записи к точке, потому что они определяют направление по осям. Геометрическое изображение помогает увидеть положение числа, но не превращает его в другое число и не меняет его арифметический смысл.

Соответствие между комплексным числом и его геометрическим изображением

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выделите действительную часть и коэффициент при i, затем поставьте их на первое и второе места в координатной паре. Если одна часть равна нулю, точка окажется на соответствующей оси. Проверяйте знак каждой координаты: он определяет, в какую сторону от начала координат нужно откладывать значение.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить на комплексной плоскости числа 3 + 2i, −2 + i, −1 − 3i и 4 − 2i. Для каждого числа нужно найти пару координат: действительная часть станет первой координатой, а коэффициент при i — второй. После этого знаки покажут, в какую четверть попадёт точка.

1. Для 3 + 2i получаем координаты (3, 2): откладываем 3 вправо и 2 вверх.
2. Для −2 + i коэффициент при i равен 1, поэтому координаты (−2, 1): точка находится слева и выше начала.
3. Для −1 − 3i координаты (−1, −3): откладываем 1 влево и 3 вниз.
4. Для 4 − 2i координаты (4, −2): точка находится справа и ниже начала координат.

Ответ: нужно отметить точки (3, 2), (−2, 1), (−1, −3) и (4, −2). Перед построением полезно отдельно выписать координаты, чтобы не потерять минус перед одной из частей.

Задача 2. Записать комплексные числа, соответствующие точкам A(−3, 2), B(0, −4) и C(5, 0). Координаты точки читаются в том же порядке, в каком они становятся частями числа: сначала действительная, затем мнимая. Нулевую координату тоже нужно учитывать — она указывает, что точка лежит на оси.

1. Для A(−3, 2) первая координата равна −3, вторая — 2, значит, число равно −3 + 2i.
2. Для B(0, −4) действительная часть равна нулю, а коэффициент при i равен −4; получаем −4i.
3. Для C(5, 0) мнимая часть равна нулю, поэтому число равно 5.

Ответ: точкам A, B и C соответствуют числа −3 + 2i, −4i и 5. Точка B лежит на мнимой оси, а C — на действительной, что совпадает с нулевыми координатами.

Задача 3. Изобразить число z = −2 + 3i и найти координаты точки, симметричной его изображению относительно действительной оси. Сначала найдём исходное положение: Re z = −2 и Im z = 3. При отражении относительно горизонтальной действительной оси расстояние по горизонтали остаётся прежним, а вертикальное направление меняется на противоположное.

1. Число z изображается точкой (−2, 3), расположенной слева и выше начала координат.
2. При симметрии относительно действительной оси первая координата не меняется.
3. Вторая координата меняет знак: 3 переходит в −3.

Ответ: симметричная точка имеет координаты (−2, −3). Она соответствует числу −2 − 3i, что можно проверить отражением точки вниз на такое же расстояние от действительной оси.

Типичные ошибки

Иногда принимают Im z за мнимое слагаемое bi. Так происходит потому, что в записи число при i заметно связано с мнимой частью, но по определению Im z обозначает только коэффициент b. Для самопроверки уберите i из слагаемого bi: оставшееся число и есть мнимая часть.

Другая ошибка — откладывать мнимую часть по горизонтали, а действительную по вертикали. Причина обычно в том, что ученик переставляет местами части числа и координаты точки. Проверяйте порядок: сначала Re z по горизонтальной оси, затем Im z по вертикальной; координаты точки записываются как (Re z, Im z).

Нельзя записывать точку для числа a + bi как (a, bi). Такое смешение возникает, когда мнимую часть путают с мнимым слагаемым, хотя обе координаты плоскости должны быть действительными числами. Перед построением проверьте, что вторая координата — b, а не bi; например, для 2 − 3i точка имеет координаты (2, −3).

При изображении чисел с отрицательными частями можно потерять знак и поместить точку не в ту сторону от начала координат. Это случается, если ориентироваться только на величину координаты, не учитывая её знак. Сверьте точку с правилом: минус у действительной части ведёт влево, минус у мнимой — вниз; при двух минусах точка будет в нижней левой четверти.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны запись комплексного числа a + bi, понятия действительной и мнимой частей, а также умение читать координаты точки на плоскости. Если знакомы эти понятия, геометрическое изображение сводится к переходу от числа к паре действительных координат. Дальше оно пригодится при изучении модуля и аргумента комплексного числа: эти характеристики описывают положение точки относительно начала координат и осей. Плоскость также позволяет наглядно истолковывать действия с комплексными числами.

Что запомнить

• Числу z = a + bi соответствует точка (a, b).
• Горизонтальная координата равна Re z, вертикальная — Im z.
• Мнимая часть числа a + bi равна b.
• Действительные числа изображаются на действительной оси.
• Чисто мнимые числа изображаются на мнимой оси.
• Число 0 изображается началом координат.
• Каждой точке комплексной плоскости соответствует ровно одно комплексное число.