2. Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел

Определения и обозначения

Полярная система координат задаёт положение точки расстоянием ρ от полюса и углом φ, отсчитываемым от полярной оси. Здесь ρ ≥ 0, а угол задаётся с точностью до полного оборота: φ и φ + 2πk обозначают одно направление, где k — целое число. Полюс играет роль начала координат, а полярная ось — роль направления отсчёта. Такая система удобна, когда положение точки проще описать расстоянием и направлением.

Полярные координаты точки записывают как M(ρ; φ): первое число показывает расстояние от полюса, второе — угол с полярной осью. Например, координаты позволяют сразу понять, насколько далеко точка находится от начала и в каком направлении её искать. У одной точки есть разные записи, потому что к углу можно прибавить или отнять любое целое число полных оборотов. Это важно учитывать при записи углов и аргументов.

Модуль комплексного числа z = x + iy обозначают |z| и вычисляют по формуле |z| = √(x² + y²). На комплексной плоскости числу соответствует точка (x; y), поэтому модуль равен расстоянию от начала координат до этой точки. Он неотрицателен и не совпадает обязательно с действительной частью x. Модуль помогает описать длину радиус-вектора числа.

Аргумент комплексного числа — угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки, соответствующей числу. Для ненулевого числа направление существует, но угол можно увеличить или уменьшить на 2πk, не изменив его. Поэтому аргумент определён с точностью до 2πk. Он нужен, чтобы задавать направление числа и записывать число в тригонометрической форме.

Как это устроено

Пусть точка M имеет полярные координаты (ρ; φ), а её декартовы координаты равны (x; y). Проведём радиус-вектор к точке и рассмотрим его проекции на оси: горизонтальная проекция равна x, вертикальная — y. По определениям косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике отношения проекций к гипотенузе равны cos φ и sin φ. Так как длина радиус-вектора — это ρ, получаем x = ρ cos φ и y = ρ sin φ.

Комплексное число z = x + iy изображают точкой (x; y), а отрезок от начала координат до неё — радиус-вектором. Его длина равна √(x² + y²), то есть модулю числа, а направление задаёт аргумент φ. Подставляя координатные равенства в z = x + iy, получаем z = ρ cos φ + iρ sin φ. Вынесение общего множителя ρ даёт тригонометрическую форму: z = ρ(cos φ + i sin φ), где ρ = |z|.

Чтобы перейти от z = x + iy к тригонометрической форме, сначала вычисляют |z| = √(x² + y²). Затем для ненулевого числа используют cos φ = x/|z| и sin φ = y/|z|: эти отношения показывают, какие значения должны иметь косинус и синус искомого угла. Одного тангенса или отношения y/x недостаточно, чтобы выбрать угол: одинаковое отношение встречается в разных четвертях. Поэтому проверяют знаки x и y, выбирают угол нужной четверти и записывают все аргументы, добавляя 2πk.

У нуля координаты x = 0 и y = 0, поэтому его модуль по формуле равен √(0² + 0²) = 0. Для ненулевой точки радиус-вектор указывает направление, но у нулевого числа отрезок до начала координат имеет нулевую длину. Направление такого вектора определить нельзя, поэтому аргумент нуля не задаётся. Это отличает ноль от любого другого комплексного числа, даже если его модуль очень мал.

Если число уже записано в тригонометрической форме, переход к алгебраической выполняют раскрытием скобок: z = ρ cos φ + iρ sin φ. Значит, x = ρ cos φ, а y = ρ sin φ, и получается обычная запись z = x + iy. Значения синуса и косинуса нужно вычислять с учётом четверти угла, чтобы правильно определить знаки координат. Для ненулевого числа вместо φ можно подставить любой равный ему аргумент φ + 2πk: значения синуса и косинуса не изменятся.

Связь декартовых и полярных координат комплексного числа

Если известны x и y, таблица помогает найти модуль, а затем определить аргумент по координатам и четверти. Если заданы ρ и φ, по формулам в последнем столбце можно сразу восстановить x и y. В строке аргумента условие ρ > 0 напоминает, что для нуля направление не задаётся.

Разбор задач

Представить число z = 1 + i в тригонометрической форме

У числа x = 1 и y = 1, значит, точка находится в первой четверти. Сначала найдём длину радиус-вектора, а затем подберём угол, у которого косинус и синус равны соответствующим координатам, делённым на модуль. В первой четверти угол с равными синусом и косинусом — π/4. Запишем ответ в форме z = |z|(cos φ + i sin φ).

1. Модуль: |z| = √(1² + 1²) = √2.
2. Координаты положительны, поэтому аргумент находится в первой четверти. cos φ = 1/√2 и sin φ = 1/√2, значит, φ = π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. Подставляем модуль и аргумент: z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)).

Ответ: z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)); все аргументы равны π/4 + 2πk, k ∈ ℤ.

Записать z = −√3 + i в тригонометрической форме и указать все аргументы

Здесь x = −√3, а y = 1, поэтому точка лежит во второй четверти. Это сразу позволяет отличить нужный угол от угла с теми же абсолютными значениями синуса и косинуса в другой четверти. После нахождения модуля отношения x/|z| и y/|z| зададут косинус и синус аргумента. В конце запишем все углы, которые соответствуют тому же направлению.

1. Модуль: |z| = √((−√3)² + 1²) = √4 = 2.
2. cos φ = −√3/2, sin φ = 1/2. Такие знаки соответствуют второй четверти, а опорный угол равен π/6, поэтому φ = 5π/6.
3. Все аргументы числа: 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. Подставляем любой из них в тригонометрическую форму.

Ответ: z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)); Arg z = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

По записи z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) найти алгебраическую форму и координаты точки

В записи уже даны полярный радиус ρ = 2 и угол φ = 5π/6. Угол лежит во второй четверти: косинус там отрицательный, а синус положительный. Поэтому действительная координата должна получиться отрицательной, а мнимая — положительной. Найдём их отдельно по формулам перехода к декартовым координатам.

1. Вычисляем x = ρ cos φ = 2 cos(5π/6) = 2(−√3/2) = −√3.
2. Вычисляем y = ρ sin φ = 2 sin(5π/6) = 2(1/2) = 1.
3. Подставляем координаты в z = x + iy: z = −√3 + i. Точка на комплексной плоскости имеет координаты (−√3; 1).

Ответ: z = −√3 + i; координаты точки (−√3; 1).

Типичные ошибки

Считать аргумент единственным. У ненулевого числа один и тот же луч задаётся углами φ + 2πk, потому что полный оборот возвращает к прежнему направлению. Ошибка возникает, когда угол записывают только в выбранном промежутке и забывают остальные значения. Проверьте себя: добавьте к найденному аргументу 2πk, где k — любое целое число.

Находить четверть только по тангенсу или отношению y/x. Отношение координат может совпадать у точек, расположенных в противоположных четвертях, поэтому по одному тангенсу знак координат не восстановить. Обычно ошибка появляется из-за выбора угла по калькулятору без проверки исходных x и y. Перед ответом определите знаки обеих координат и убедитесь, что синус и косинус выбранного угла имеют те же знаки.

Считать аргумент нуля определённым. У точки (0; 0) нет направления, хотя длина до начала координат равна нулю. Путаница возникает, когда правило о нескольких углах для ненулевого числа механически переносят на ноль. Проверка простая: для аргумента нужен радиус-вектор, а у нуля его длина равна нулю и направление не задаётся.

Путать полярный радиус ρ с координатой x или y. Радиус — расстояние до начала координат, а не горизонтальная или вертикальная проекция. Ошибка может возникнуть потому, что в полярной форме число ρ стоит перед скобками и выглядит как отдельная координата. Проверьте ответ по формулам x = ρ cos φ и y = ρ sin φ: при ненулевом угле координаты обычно отличаются от ρ, а модуль должен совпасть с длиной радиус-вектора.

Связь с другими темами

Для перехода между системами координат нужны декартовы координаты точки, прямоугольная система и формула расстояния: именно она даёт выражение √(x² + y²). Также понадобятся определения синуса и косинуса, их знаки в четвертях и значения для основных углов, иначе будет трудно правильно выбрать аргумент. Тригонометрическая форма пригодится дальше при умножении и делении комплексных чисел, возведении их в степень и извлечении корней. Она превращает геометрические характеристики числа — длину и направление — в удобную запись для вычислений.

Что запомнить

• Полярные координаты точки записывают как (ρ; φ), где ρ ≥ 0.
• Связь координат: x = ρ cos φ, y = ρ sin φ.
• Для z = x + iy модуль равен |z| = √(x² + y²).
• Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа: z = |z|(cos φ + i sin φ).
• Аргументы одного ненулевого числа отличаются на 2πk.
• У нуля модуль равен нулю, но аргумент не определён.