"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Тригонометрическая форма помогает выполнять действия с комплексными числами, не раскрывая скобки и не перемножая отдельно действительные и мнимые части. При умножении перемножают модули и складывают аргументы, при делении модули делят, а аргументы вычитают. Формула Муавра позволяет быстро возводить число в натуральную степень. Эти правила основаны на свойствах синуса и косинуса и пригодятся при решении уравнений и извлечении комплексных корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль числа, а φ — его аргумент. Модуль показывает расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости, а аргумент задаёт направление луча к этой точке. Такая запись особенно удобна, когда нужно умножать числа, делить их или возводить в степень.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме — действие, при котором модули перемножаются, а аргументы складываются. Если z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), а z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂), то модуль произведения равен r₁r₂, а аргумент — φ₁ + φ₂. Это правило позволяет найти произведение без раскрытия скобок с действительной и мнимой частями.
Формула Муавра задаёт правило возведения в натуральную степень: [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Иными словами, модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n. Формула нужна, чтобы быстро получить степень комплексного числа и, сравнивая части равенства, найти cos nφ и sin nφ.
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме — действие, при котором модуль делимого делится на модуль делителя, а аргумент делителя вычитается из аргумента делимого. Для z₁/z₂ получаем модуль r₁/r₂ и аргумент φ₁ − φ₂, причём r₂ ≠ 0. Поэтому деление удобно сводится к двум простым действиям с модулями и углами.
Почему при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются? Запишем оба числа как r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) и перемножим скобки. После группировки действительной и мнимой частей появляются выражения cos φ₁ cos φ₂ − sin φ₁ sin φ₂ и sin φ₁ cos φ₂ + cos φ₁ sin φ₂. По формулам сложения это cos(φ₁ + φ₂) и sin(φ₁ + φ₂), а множитель перед ними равен r₁r₂. Геометрически произведение увеличивает длину в r₂ раз и поворачивает направление на φ₂.
Поэтому результат умножения сразу записывают как z₁z₂ = r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)). Углы, отличающиеся на 2πk, имеют одинаковые синус и косинус, так что аргумент результата можно записать как φ₁ + φ₂ + 2πk, где k — целое число. Например, если получился угол больше 2π, его можно уменьшить на полный оборот и выбрать более привычное значение. Это меняет запись аргумента, но не само комплексное число.
Возведение в натуральную степень — это последовательное умножение одного и того же числа на себя. При каждом умножении модуль умножается ещё на r, а аргумент увеличивается ещё на φ, поэтому после n множителей получаются rⁿ и nφ. Так получается формула Муавра: [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Чтобы получить формулы для синуса и косинуса кратного угла, можно сравнить действительную и мнимую части результата с алгебраическим раскрытием (cos φ + i sin φ)ⁿ. В частности, cos nφ — действительная часть, а sin nφ — коэффициент при i.
Деление можно понять через умножение. Для ненулевого числа z₂ обратное число имеет модуль 1/r₂ и аргумент −φ₂, потому что произведение числа на обратное должно иметь модуль 1 и аргумент 0 с точностью до полного оборота. Тогда z₁/z₂ = z₁ · 1/z₂: модули дают r₁/r₂, а аргументы — φ₁ + (−φ₂) = φ₁ − φ₂. Если z₂ = 0, обратного числа не существует и делить на него нельзя.
Аргумент результата не единственный: к любому его значению можно прибавить 2πk, где k — целое число. Обычно для записи выбирают угол в удобном диапазоне, например от 0 до 2π, но это лишь выбор представителя, а не ограничение на число. При вычислениях можно сначала получить разность или сумму углов, а затем привести её к удобному виду. Такой приём помогает сопоставлять ответ с табличными значениями синуса и косинуса.
| Действие | Модуль результата | Аргумент результата | Условие и формула |
|---|---|---|---|
| Умножение z₁z₂ | r₁r₂ | φ₁ + φ₂ (с точностью до 2πk) | z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) |
| Возведение в степень zⁿ | rⁿ | nφ (с точностью до 2πk) | n — натуральное число; формула Муавра |
| Деление z₁/z₂ | r₁/r₂ | φ₁ − φ₂ (с точностью до 2πk) | r₂ ≠ 0 |
Сначала определите, какое действие выполняется, затем отдельно примените правило к модулю и к аргументу. В строке деления обязательно проверьте, что модуль делителя не равен нулю. Угол результата при необходимости замените на угол, отличающийся от него на 2πk.
Вычислите произведение 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) · 3(cos(π/3) + i sin(π/3)). Здесь числа уже записаны в тригонометрической форме: их модули равны 2 и 3, а аргументы — π/6 и π/3. Значит, нет необходимости перемножать скобки: достаточно отдельно найти новый модуль и новый аргумент.
Ответ: 6(cos(π/2) + i sin(π/2)). При желании можно заметить, что cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1, поэтому произведение равно 6i. Тригонометрическая форма здесь сразу показывает и длину результата, и его направление.
Представьте число (cos(π/5) + i sin(π/5))⁴ в тригонометрической форме и найдите его алгебраическую форму. Модуль исходного числа равен 1, поэтому его четвёртая степень также имеет модуль 1. По формуле Муавра нужно умножить аргумент π/5 на показатель степени 4, после чего вычислить синус и косинус полученного угла.
Ответ в тригонометрической форме: cos(4π/5) + i sin(4π/5). Ответ в алгебраической форме: −(√5 + 1)/4 + i√(10 − 2√5)/4. Так как модуль равен единице, перед скобками в тригонометрической форме множитель 1 можно не писать.
Вычислите 6(cos(7π/12) + i sin(7π/12)) / 2(cos(π/4) + i sin(π/4)) и запишите ответ в алгебраической форме. Делитель ненулевой, потому что его модуль равен 2. Сначала найдём модуль и аргумент частного, а затем используем значения синуса и косинуса, чтобы перейти к записи a + bi.
Получаем 3(1/2 + i√3/2) = 3/2 + i3√3/2. Ответ в алгебраической форме: 3/2 + i3√3/2. Проверка порядка действий проста: модуль разделили, а из аргумента делимого вычли именно аргумент делителя.
При умножении иногда вычитают аргументы по аналогии с делением. Такая путаница возникает, если запоминать правила без связи с действием: при умножении направления складываются, при делении направление делителя нужно убрать. Проверьте знак на простом примере: числа с аргументом π/3 при умножении дают аргумент 2π/3, а не 0.
При делении могут сложить аргументы или разделить один угол на другой. Ни то ни другое не следует из правила для частного: нужно взять аргумент делимого и вычесть аргумент делителя. Для самопроверки представьте деление как умножение на обратное число, у которого аргумент противоположен; тогда получится φ₁ + (−φ₂).
При возведении в степень иногда умножают на n только аргумент, но оставляют прежний модуль. Это происходит, когда формулу Муавра запоминают как правило про углы и упускают изменение длины. Проверяйте обе части: r становится rⁿ, а φ — nφ; например, модуль 2 в третьей степени равен 8, а не 2.
Ещё одна ошибка — считать, что у результата только один аргумент. Запись φ задаёт направление, но к нему можно прибавить полный оборот 2πk, не меняя синус и косинус. Если два ответа отличаются на 2πk, это один и тот же комплексный результат; для записи выберите наиболее удобный угол.
Для применения правил нужно уметь находить модуль и аргумент комплексного числа и переходить к тригонометрической форме. Также пригодятся формулы сложения синуса и косинуса: через них обосновывается правило умножения, и нужны точные значения функций для основных углов. Тригонометрическая форма особенно полезна при извлечении корней из комплексных чисел и решении уравнений: она помогает работать с модулем и аргументом отдельно. Поэтому уверенное владение этими действиями становится основой для следующих тем о комплексных числах.
Почему при умножении комплексных чисел аргументы складываются?
При умножении тригонометрических форм углы складываются по формулам синуса и косинуса суммы. Геометрически умножение поворачивает каждое число на его аргумент, поэтому общий поворот равен сумме углов.
Какую форму комплексного числа удобнее использовать для возведения в степень?
Для возведения в степень обычно удобнее тригонометрическая форма. По формуле Муавра модуль возводят в степень, а аргумент умножают на показатель, не раскрывая скобки.
Можно ли применять формулу Муавра при отрицательной степени?
Да, если число ненулевое: формулу Муавра можно распространить на целые отрицательные степени. При этом rⁿ остаётся модулем результата, а аргумент равен nφ; для отрицательного n модуль степени можно также записать как 1/r⁻ⁿ.
Почему при делении аргументы вычитаются?
Частное можно представить как произведение делимого на обратное число. У обратного комплексного числа аргумент противоположен аргументу исходного, поэтому при сложении углов получается φ₁ − φ₂.
Почему у одного комплексного числа несколько значений аргумента?
Углы, отличающиеся на полный оборот 2π, задают одно и то же направление на комплексной плоскости. Поэтому все аргументы ненулевого числа имеют вид φ + 2πk, где k — целое число.
3. Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
