"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Формула Муавра связывает степени комплексного числа с тригонометрией: при возведении cos φ + i sin φ в степень угол умножается на показатель. Благодаря этому можно получать формулы для синуса и косинуса кратного угла, доказывать тождества через равенство действительной и мнимой частей, а также находить все корни комплексного числа. Главное — следить за аргументом и учитывать его значения, отличающиеся на 2π.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись ненулевого числа z = r(cos φ + i sin φ), где r — его модуль, а φ — аргумент. Модуль показывает расстояние от начала координат до точки z, аргумент задаёт её направление. Такая запись удобна для умножения и возведения комплексных чисел в степень.
Аргумент комплексного числа — угол φ, задающий направление числа на комплексной плоскости. Одному направлению соответствуют углы φ, φ + 2π, φ − 2π и другие, поэтому аргумент определён с точностью до 2π. Это свойство особенно важно при извлечении корней: нельзя учитывать только одно значение угла.
Формула Муавра утверждает, что (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ) для целого n. Она позволяет свести возведение комплексного числа в степень к умножению аргумента на показатель степени. Раскрывая левую часть, получают выражения для синуса и косинуса кратного угла.
Корень n-й степени из комплексного числа — число, n-я степень которого равна заданному числу. Например, если wⁿ = z, то w является одним из корней n-й степени из z. Для ненулевого z таких корней ровно n, и формула Муавра помогает найти их модули и аргументы.
Пусть z₁ = r₁(cos α + i sin α), z₂ = r₂(cos β + i sin β). При умножении скобок получаются слагаемые с cos α cos β − sin α sin β и sin α cos β + cos α sin β. По формулам сложения углов это соответственно cos(α + β) и sin(α + β), поэтому z₁z₂ = r₁r₂(cos(α + β) + i sin(α + β)). Так объясняется правило: модули умножаются, а аргументы складываются.
Для натурального показателя формулу Муавра доказывают индукцией. При n = 1 она очевидна; предположим, что равенство верно для n. Умножим обе его части на cos φ + i sin φ и применим правило умножения из предыдущего абзаца: к аргументу nφ прибавится φ, то есть получится (n + 1)φ. Значит, формула верна и для n + 1, а следовательно, для всех натуральных n; для n = 0 обе части равны 1, а для отрицательных n результат следует из обращения ненулевого числа.
Чтобы получить формулы кратных углов, раскройте (cos φ + i sin φ)ⁿ по биному Ньютона. Затем используйте степени i: чётные степени дают действительные слагаемые, нечётные — мнимые, причём знаки чередуются, поскольку i² = −1. Справа уже стоят cos(nφ) и i sin(nφ), поэтому после группировки можно приравнять действительные и мнимые части отдельно. Так возникают выражения для cos(nφ) и sin(nφ) через sin φ и cos φ.
Этот же приём служит доказательством тождеств. Записывают верное комплексное равенство по формуле Муавра, раскрывают его и приводят подобные слагаемые; затем используют, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны мнимые части. Если требуется тождество с косинусом, берут действительную часть, а если с синусом — мнимую. Замена sin²x на 1 − cos²x или cos²x на 1 − sin²x приводит результат к нужному виду.
Для извлечения корней запишем ненулевое число как z = r(cos φ + i sin φ) и пусть w = ρ(cos θ + i sin θ) — его корень n-й степени. По формуле Муавра wⁿ = ρⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)); сравнение с z даёт ρⁿ = r и nθ = φ + 2πk. Поэтому ρ = ⁿ√r, а θ = (φ + 2πk)/n. Достаточно взять k = 0, 1, …, n − 1: следующие значения повторяют те же корни.
| Что рассматривается | Формула или результат | Условия и пояснения |
|---|---|---|
| Возведение в целую степень | (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ) | n — целое; при отрицательном n основание должно быть ненулевым. |
| Аргумент результата | arg(zⁿ) = nφ | Равенство аргументов понимается с точностью до 2π. |
| Модуль результата | |zⁿ| = rⁿ | Если |z| = r, то при n ≥ 0 модуль степени равен rⁿ. |
| Извлечение корней n-й степени | ⁿ√r · (cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)) | Для ненулевого числа r > 0; k = 0, 1, …, n − 1 дают все корни. |
| Получение тригонометрических тождеств | Действительная часть равна cos(nφ), мнимая — sin(nφ) | Раскрывают биномиально и приравнивают соответствующие части. |
Пользуйтесь таблицей, сначала определив, что именно требуется найти: степень, корень или формулу кратного угла. Затем проверьте условия — в частности, учтите, что аргумент определяется не единственным значением. При доказательстве тождества выберите действительную или мнимую часть согласно тому, что стоит в условии.
Условие. Используя формулу Муавра, выразите cos 3x и sin 3x через cos x и sin x. Обозначим c = cos x и s = sin x, чтобы удобнее записать раскрытие куба. По формуле Муавра (c + is)³ = cos 3x + i sin 3x.
Ответ. cos 3x = cos³x − 3cos x sin²x; sin 3x = 3cos²x sin x − sin³x. При необходимости эти формулы можно преобразовать, заменив sin²x на 1 − cos²x или cos²x на 1 − sin²x. Сначала важно верно разделить действительную и мнимую части.
Условие. Докажите указанное равенство, раскрыв четвёртую степень cos x + i sin x. Положим c = cos x, s = sin x. По формуле Муавра (c + is)⁴ = cos 4x + i sin 4x.
Ответ. Получено cos 4x = 8cos⁴x − 8cos²x + 1, что и требовалось доказать. Проверка знаков особенно важна в слагаемом с i²: именно оно превращает положительный член бинома в отрицательный. Подстановка sin²x = 1 − cos²x позволяет оставить в ответе только косинус.
Условие. Требуется доказать формулу для синуса пятого угла. Обозначим c = cos x и s = sin x и запишем (c + is)⁵ = cos 5x + i sin 5x. Для искомого равенства нужна мнимая часть раскрытого бинома.
Ответ. sin 5x = 16sin⁵x − 20sin³x + 5sin x. В преобразовании используются равенства cos²x = 1 − sin²x и cos⁴x = (1 − sin²x)². Если раскрыть скобки аккуратно, все слагаемые собираются в требуемый многочлен.
Формулу Муавра иногда записывают для суммы комплексных чисел как будто (a + b)ⁿ можно заменить на aⁿ + bⁿ. Это неверно: формула относится к степени числа, записанного в тригонометрической форме, а раскрывать сумму нужно по биному Ньютона. Проверьте себя на квадрате: обычно (a + b)² содержит ещё слагаемое 2ab.
При извлечении корней можно забыть, что аргумент задан с точностью до 2π, и получить лишь один корень. Ошибка возникает, если взять только исходный угол φ и не рассмотреть φ + 2πk. Чтобы проверить ответ, выпишите k от 0 до n − 1 и убедитесь, что получились n разных направлений.
Нельзя приравнивать комплексные числа только по модулю или только по аргументу: одинаковая длина не означает одинаковую точку. Равенство z₁ = z₂ проверяют сравнением действительных частей и сравнением мнимых частей. Перед доказательством тождества отдельно отметьте, какую из этих частей вы используете.
Неверные знаки часто появляются при раскрытии бинома или при замене i² на 1 вместо −1. Особенно внимательно проверяйте степени i: i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Полезная проверка — сгруппировать отдельно действительные и мнимые слагаемые и затем сопоставить их с косинусом и синусом.
Для работы с формулой Муавра нужны действия с комплексными числами, модуль и тригонометрическая форма: без них не объяснить, почему при умножении складываются аргументы. При доказательствах также используются формулы сложения и тождества sin²x + cos²x = 1, биномиальная формула и правило равенства комплексных чисел по действительной и мнимой частям. Далее формула помогает извлекать корни комплексных чисел и выводить формулы кратных углов.
Для каких значений n применима формула Муавра?
Для ненулевого комплексного числа в тригонометрической форме формула верна при любом целом n. При n = 0 обе части равны 1; отрицательные степени определены, если число не равно нулю.
Почему при умножении комплексных чисел складываются аргументы?
При перемножении тригонометрических форм каждая пара синусов и косинусов преобразуется по формулам суммы углов. В результате модуль становится произведением модулей, а направление поворота — суммой углов.
Как из формулы Муавра получить формулы для косинуса и синуса кратного угла?
Раскройте (cos φ + i sin φ)ⁿ по биному Ньютона, затем замените степени i, используя i² = −1. Приравняйте действительные части к cos(nφ), а мнимые — к sin(nφ).
Почему при извлечении корня из комплексного числа получается несколько корней?
Аргумент заданного числа можно записать как φ + 2πk, где k — целое число. После деления аргумента на n разные значения k от 0 до n − 1 дают n различных направлений корней.
Как понять, какую часть комплексного равенства нужно использовать для доказательства тождества?
Если требуется тождество для косинуса, сравнивайте действительные части; если для синуса — мнимые. Иногда удобно использовать обе части, например, чтобы получить сразу две формулы.
4. Формула Муавра. Применения комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств
