"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Извлечь корень n-й степени из комплексного числа — значит найти все числа, которые при возведении в степень n дают исходное число. Для ненулевого числа таких корней ровно n: их модули равны корню n-й степени из модуля исходного числа, а аргументы вычисляются по формуле (φ + 2πk)/n. Благодаря этой формуле корни можно найти и расположить на комплексной плоскости; для нуля ответ всегда один — 0.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из комплексного числа z — число w, для которого wⁿ = z. Иными словами, нужно найти все числа, которые при умножении на себя n раз дают z. Такое понятие позволяет решать уравнения вида wⁿ = z, в том числе когда z не является действительным числом.
Модуль комплексного числа — неотрицательное число, равное расстоянию от соответствующей точки до начала координат. Для z = a + bi он равен √(a² + b²). Модуль помогает найти размер корня: если wⁿ = z, то |w|ⁿ = |z|, поэтому |w| = ⁿ√|z|.
Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и лучом из начала координат к точке числа. У ненулевого числа аргумент определён с точностью до целого числа полных оборотов: его значения отличаются на 2π. Учёт всех таких значений нужен, чтобы не потерять корни с разными направлениями.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль, а φ — аргумент. Здесь r задаёт расстояние до начала координат, а φ — направление точки на плоскости. В этой форме удобно возводить комплексные числа в степень и извлекать из них корни.
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если умножить число на себя n раз, его модуль станет |w|ⁿ, а аргумент — nφ. Это объясняет, почему равенство wⁿ = z приводит отдельно к уравнению для модуля и к условию на аргумент.
Запишем исходное число как z = r(cos φ + i sin φ), а корень — как w = ρ(cos θ + i sin θ). По формуле Муавра wⁿ = ρⁿ(cos nθ + i sin nθ). Чтобы это совпало с z, необходимо ρⁿ = r и nθ = φ с точностью до полного оборота, то есть nθ = φ + 2πk.
В формуле аргумента появляется 2πk, потому что φ, φ + 2π, φ − 2π и другие углы с целым числом полных оборотов задают одно исходное число. После деления равенства nθ = φ + 2πk на n получаем θ = (φ + 2πk)/n. Здесь k достаточно пробежать от 0 до n − 1: при k = n аргумент увеличится на 2π относительно значения при k = 0, а значит, получится тот же корень.
Поэтому все корни ненулевого числа имеют вид wₖ = ⁿ√r(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), где k = 0, 1, …, n − 1. Они различны: аргументы соседних корней отличаются на 2π/n, а это меньше полного оборота и не равно ему. Всего получается n точек на окружности радиуса ⁿ√r.
Разность аргументов соседних корней постоянна и равна 2π/n, поэтому точки равномерно распределены по окружности с центром в начале координат. Если z = 0, то из wⁿ = 0 следует w = 0: модуль ненулевого числа положителен и его степень не может обратиться в ноль. Значит, в этом случае корень только один.
| Случай | Модуль корня | Аргумент корня | Число различных корней |
|---|---|---|---|
| z = 0 | 0 | Не определяется; корень равен 0 | 1 |
| z = r(cos φ + i sin φ), r > 0 | ⁿ√r | (φ + 2πk)/n | n |
| Значения индекса k | — | k = 0, 1, …, n − 1 | Все значения дают разные корни |
| Расположение корней на комплексной плоскости | Окружность радиуса ⁿ√r | Соседние аргументы различаются на 2π/n | Равномерно на окружности |
Сначала определите, равно ли исходное число нулю: для нуля ответ сразу известен. Если число ненулевое, найдите его модуль и аргумент, а затем примените формулу из второй строки. Последние строки подсказывают, сколько значений k перебрать и как проверить расположение полученных корней.
Представим корень в алгебраической форме w = x + iy. Тогда w² = (x² − y²) + 2xyi, поэтому из равенства w² = −3 + 4i получаем x² − y² = −3 и 2xy = 4.
Из второго уравнения следует xy = 2, значит, x и y имеют одинаковый знак. Возведём модули обеих частей в квадрат: |w|² = |−3 + 4i| = 5, а |w|² = x² + y². Складывая уравнения для x² − y² и x² + y², получаем 2x² = 2, откуда x² = 1.
Тогда y² = 4, а с учётом xy = 2 возможны пары (x, y) = (1, 2) и (−1, −2). Проверка: (1 + 2i)² = −3 + 4i, и (−1 − 2i)² = −3 + 4i. Оба найденных числа подходят.
Ответ: 1 + 2i и −1 − 2i.
Модуль числа 8i равен 8, а аргумент можно взять равным π/2. Поэтому 8i = 8(cos(π/2) + i sin(π/2)). Корень будет иметь модуль ³√8 = 2.
Аргументы корней равны (π/2 + 2πk)/3. Поскольку степень равна трём, берём k = 0, 1, 2; получаем аргументы π/6, 5π/6 и 3π/2. Теперь подставляем их в тригонометрическую форму корня с модулем 2.
При угле π/6 получаем √3 + i. При 5π/6 — −√3 + i, а при 3π/2 — −2i. Возведение каждого числа в куб возвращает 8i; например, для −2i имеем (−2i)³ = 8i.
Ответ: √3 + i, −√3 + i, −2i.
Число −16 имеет модуль 16 и аргумент π, поэтому −16 = 16(cos π + i sin π). Модуль каждого корня равен ⁴√16 = 2. Аргументы вычисляются по формуле (π + 2πk)/4.
Перебираем k = 0, 1, 2, 3 и получаем углы π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4. Записываем корни с модулем 2: 2(cos θ + i sin θ) для каждого из четырёх углов. В алгебраической форме это √2 + √2i, −√2 + √2i, −√2 − √2i и √2 − √2i.
На плоскости корни находятся на окружности радиуса 2, а соседние точки разделены углом π/2. Получается квадрат с центром в начале координат. Проверка по модулю даёт 2⁴ = 16, а умножение аргумента каждого корня на 4 даёт угол, равный π с точностью до полного оборота.
Ответ: √2 + √2i, −√2 + √2i, −√2 − √2i, √2 − √2i.
Учитывают только один аргумент исходного числа и не прибавляют 2πk. Это происходит, когда аргумент принимают за единственное значение, хотя он задаётся с точностью до полного оборота. Проверьте ответ: если ищете корни n-й степени ненулевого числа, должно получиться n разных значений.
Перебирают k бесконечно или заканчивают раньше, чем k = n − 1. Бесконечность кажется необходимой из-за целых значений k, но после n шагов углы отличаются на полный оборот и корни повторяются. Для контроля выпишите именно k = 0, 1, …, n − 1 и сосчитайте результаты.
Делят на n аргумент φ, но оставляют слагаемое 2πk без деления. В формуле nθ = φ + 2πk делить нужно обе части целиком, поэтому θ = (φ + 2πk)/n. Проверка проста: умножьте найденный угол на n — он должен отличаться от φ на целое число 2π.
Считают, что из нуля получается n различных корней. Здесь забывают, что все значения индекса в формуле для ненулевого числа нельзя механически переносить на ноль: у нуля нет аргумента. Подставьте w = 0 в уравнение wⁿ = 0 и учтите, что ненулевое w не может дать ноль при возведении в степень.
Перед извлечением корней нужно уметь находить модуль и аргумент комплексного числа, а также переходить к тригонометрической форме. Формула корней опирается на правила умножения комплексных чисел в этой форме и на формулу Муавра для возведения числа в степень. Само извлечение корней помогает решать алгебраические уравнения и переходить от тригонометрической записи к алгебраической: каждый полученный корень можно раскрыть через синус и косинус.
Почему у ненулевого комплексного числа именно n корней n-й степени?
Если исходное число записано в тригонометрической форме, аргументы его корней задаются формулой (φ + 2πk)/n. При k = 0, 1, …, n − 1 получаются n разных направлений, а модули у всех корней одинаковы. Следующие значения k повторяют уже найденные корни.
Почему при поиске корней к аргументу добавляют 2πk?
Аргумент одного ненулевого комплексного числа не единственный: к любому его значению можно прибавить 2πk, где k — целое число. Все такие углы задают одно и то же число, но после деления на n дают разные возможные аргументы корней. Поэтому в формуле учитывают φ + 2πk.
Как выбрать значения k, чтобы не пропустить корни и не повторить их?
Берут k = 0, 1, …, n − 1: этого достаточно, чтобы получить все n разных корней ненулевого числа. При увеличении k на n аргумент корня возрастает на 2π, то есть задаёт то же направление. Поэтому дальнейший перебор только повторит найденные значения.
Сколько корней имеет число ноль?
Уравнение wⁿ = 0 имеет единственное решение w = 0. Никакое ненулевое число при возведении в натуральную степень не становится нулём. Поэтому у нуля не n различных корней, а один.
Как проверить, что найденное число действительно является корнем?
Возведите найденное число в степень n и сравните результат с исходным числом. Если корень записан в тригонометрической форме, проверьте, что модуль в степени n равен модулю исходного числа, а аргумент после умножения на n отличается от исходного на целое число 2π. В алгебраической форме можно перемножить числа напрямую.
5. Извлечение корня из комплексного числа
