"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Многочлен можно изучать через его корни: каждый корень задаёт линейный множитель, а разложение помогает решать уравнения и видеть строение выражения. Основная теорема алгебры утверждает, что у любого многочлена положительной степени с комплексными коэффициентами есть комплексный корень. Повторяя выделение множителей, многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей, если считать корни с кратностями. Различных корней при этом может быть меньше.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень многочлена — число, при подстановке которого многочлен принимает значение 0. В этой теме мы допускаем комплексные числа, а не только действительные: например, у x² + 1 есть корни i и −i. Поиск корней нужен, чтобы решать уравнения P(x) = 0 и находить множители многочлена.
Кратность корня — число раз, которое соответствующий ему линейный множитель повторяется в разложении. Если P(x) содержит множитель (x − a)³, то a — корень кратности 3. Кратность позволяет учитывать все корни, даже когда одно и то же значение повторяется.
Основная теорема алгебры утверждает: любой многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение снимает ограничение, которое возникает при поиске только действительных корней. Оно становится отправной точкой для полного разложения многочлена.
Разложение на линейные множители — представление многочлена как произведения множителей первой степени над комплексными числами, например P(x) = c(x − a₁)(x − a₂). Здесь c — ненулевой коэффициент, а корни в записи повторяются согласно кратностям. Такое представление показывает и корни, и степень многочлена.
Над действительными числами существование корня не гарантировано: x² + 1 положителен при любом действительном x и потому не обращается в нуль. В комплексных числах у него есть корни i и −i, так как i² = −1. Именно поэтому теорема формулируется для комплексной области: в ней можно гарантировать корень для любого многочлена положительной степени. Речь не о том, что каждый корень обязательно невещественный, а о расширении области, где его ищут.
Пусть по основной теореме найден корень a многочлена P. Тогда P(a) = 0, а теорема Безу говорит, что P(x) делится на x − a без остатка. Поэтому P(x) = (x − a)Q(x), где Q имеет степень на единицу меньше исходной. Это превращает задачу о корнях многочлена в задачу о корнях более простого многочлена. Знак в скобке именно такой: корню a соответствует x − a.
Для Q снова применяют основную теорему, если его степень положительна, и выделяют следующий линейный множитель. После каждого деления степень уменьшается на единицу, поэтому процесс заканчивается после конечного числа шагов. Для многочлена степени n получается запись P(x) = c(x − a₁)…(x − aₙ), где c — старший коэффициент. Если корень повторяется, его множитель появляется в записи несколько раз.
В разложении степени n есть n линейных множителей, поэтому корней ровно n при подсчёте с кратностями. Однако значения a₁, …, aₙ не обязаны быть все разными: например, у (x − 2)³ один различный корень, но три корня с учётом кратности. При подсчёте различных корней повторяющиеся значения считают один раз. Это различие важно, когда сравнивают число корней со степенью многочлена.
Если коэффициенты P действительные и z — его корень, то комплексное сопряжение даёт P(z̄) = overline(P(z)) = 0. Значит, невещественный корень z сопровождается корнем z̄. Их множители объединяются: (x − z)(x − z̄) = x² − 2 Re(z)x + |z|², а коэффициенты этого квадратного множителя действительны. Так комплексные корни не мешают разложению многочлена с действительными коэффициентами на действительные линейные и квадратные множители.
Таблица сравнивает возможности разложения, когда коэффициенты и корни рассматривают в разных числовых областях. Слово «поле» здесь означает область чисел, в которой выполняют вычисления и ищут корни.
| Свойство | Над действительными числами | Над комплексными числами |
|---|---|---|
| Всегда ли есть корень у многочлена положительной степени | Нет, например, у x² + 1 корней нет | Да, по основной теореме алгебры |
| На множители каких степеней можно разложить многочлен | На линейные и неприводимые квадратные | На линейные |
| Число корней с учётом кратностей | Может быть меньше степени, если считать только действительные корни | Равно степени многочлена |
| Как связаны комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами | Невещественные корни рассматривают как сопряжённые пары | Каждому невещественному корню соответствует сопряжённый корень |
При решении задачи сначала определите, в какой числовой области требуется искать корни. Если многочлен имеет действительные коэффициенты, сопряжённые пары помогают получить действительные квадратные множители. Для полного разложения на линейные множители нужно перейти к комплексным числам.
Проверим, является ли число 2 корнем P(x) = x³ − 3x² + 4. Корнем число будет только в том случае, если значение всего многочлена при подстановке окажется нулём. Поэтому вычислим P(2), внимательно сохраняя знаки и порядок действий.
Ответ: 2 — корень многочлена P(x).
Дан P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, причём известен корень 1. Значит, x − 1 делит многочлен без остатка; остаётся найти частное и разложить квадратный трёхчлен. Так мы используем известный корень, чтобы понизить степень выражения.
Ответ: корни 1, 3 и −2; каждый имеет кратность 1.
Разложим x⁴ + 5x² + 4 и найдём число различных корней. В выражении встречаются только чётные степени, поэтому замена t = x² превращает его в квадратный трёхчлен. После разложения нужно вернуться к x и раскрыть квадратные множители над комплексными числами.
Ответ: разложение — (x − i)(x + i)(x − 2i)(x + 2i); различных корней 4.
Ошибка — утверждать, что у любого многочлена есть действительный корень. Так путают основную теорему алгебры с более сильным утверждением, которого она не содержит: пример x² + 1 сразу опровергает его. Проверяйте, в каких числах сформулирована теорема и где именно ищутся корни. Для гарантии нужен комплексный, а не обязательно действительный корень.
Ошибка — считать, что многочлен степени n всегда имеет n различных корней. Это происходит, когда забывают, что один корень может повторяться в разложении. Например, (x − 1)² имеет степень 2, но только один различный корень. Чтобы проверить подсчёт, отделяйте число различных значений от числа корней с учётом кратностей.
Ошибка — связывать корень a с множителем x + a. Подстановка показывает, что при x = a множитель x − a обращается в нуль, тогда как x + a при этом обычно равен 2a. Для самопроверки подставьте предполагаемый корень именно в множитель: он должен стать нулём. Например, корню 3 соответствует x − 3.
Ошибка — забывать сопряжённый корень у многочлена с действительными коэффициентами. Часто находят один невещественный корень и останавливаются, хотя сопряжение сохраняет равенство нулю. Проверка проста: если z — корень, подставьте z̄ или используйте свойство P(z̄) = overline(P(z)). Значит, оба корня нужно учитывать в разложении.
Чтобы применять теорему на практике, нужно уметь делить многочлены и знать теорему Безу: она связывает нулевое значение P(a) с делимостью на x − a. Комплексные корни и сопряжение опираются на свойства комплексных чисел, а нахождение корней квадратных множителей — на решение квадратных уравнений. Разложение на множители затем помогает решать уравнения более высоких степеней и исследовать многочлены. Так отдельные приёмы складываются в общий способ анализа выражения.
Обязательно ли у многочлена есть действительный корень?
Нет. Например, у многочлена x² + 1 нет действительных корней, потому что квадрат действительного числа не может равняться −1. Теорема гарантирует существование корня в комплексных числах.
Почему теорема утверждает существование корня именно в комплексных числах?
Действительных чисел недостаточно: некоторые многочлены, например x² + 1, не обращаются в нуль ни при каком действительном x. Комплексные числа расширяют область поиска так, что у каждого многочлена положительной степени с комплексными коэффициентами находится корень.
Сколько корней у многочлена степени n?
Над комплексными числами у многочлена степени n ровно n корней с учётом кратностей. Различных корней может быть меньше: например, один корень может повторяться несколько раз.
Что означает кратность корня?
Кратность — это число раз, которое соответствующий линейный множитель входит в разложение многочлена. Если в разложении есть (x − a)³, то a — корень кратности 3.
Почему комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются парами?
При действительных коэффициентах сопряжение сохраняет значение уравнения: если подстановка z даёт нуль, то подстановка сопряжённого числа тоже даёт нуль. Поэтому невещественные корни идут парами z и его сопряжённое число. Их множители вместе образуют квадратный множитель с действительными коэффициентами.
6. Основная теорема алгебры многочленов
