"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Комплексные числа можно не только складывать и умножать, но и изображать точками на плоскости. Такое представление связывает алгебраические действия с геометрическими преобразованиями: умножение может поворачивать и растягивать плоскость, а сложение — переносить её. Модуль показывает расстояние точки от начала координат. Эти идеи помогают понимать, как функция комплексного переменного переводит точки и целые множества в новые положения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число — число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью; это именно коэффициент при i. Такое обозначение позволяет работать с числами, для которых не хватает обычной действительной оси.
Комплексная плоскость — плоскость, на которой числу z = a + bi соответствует точка с координатами (a; b). Горизонтальная действительная ось задаёт значение a, вертикальная мнимая ось — значение b. Благодаря координатам алгебраические выражения можно интерпретировать геометрически.
Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до точки, изображающей это число: |z| = √(a² + b²). Например, модуль показывает, насколько далеко число находится от нуля на комплексной плоскости. Он нужен также для вычисления расстояний и описания изменений масштаба.
Функция комплексного переменного — правило, которое каждому комплексному числу z из области определения ставит в соответствие комплексное число w = f(z). Область определения — множество допустимых входных значений. Такое правило можно понимать как преобразование точек плоскости и изучать, куда переходят отдельная точка или целая фигура.
Число a + bi изображают точкой (a; b), потому что комплексное число однозначно определяется парой действительных чисел a и b. Координаты здесь не просто удобная запись: они сохраняют сведения об обеих частях числа. Поэтому при сложении (a + bi) + (c + di) складываются отдельно действительные части и коэффициенты при i: получается (a + c) + (b + d)i. Геометрически это сложение координат, то есть сложение соответствующих векторов; вычитание устроено аналогично.
У точки (a; b) и начала координат координатные отрезки длины |a| и |b| образуют катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора квадрат расстояния между концами гипотенузы равен a² + b², поэтому расстояние составляет √(a² + b²). Это расстояние и называется модулем числа z = a + bi. Между двумя другими точками действует тот же принцип: координаты разности z₁ − z₂ дают горизонтальное и вертикальное смещения, а длина отрезка равна |z₁ − z₂|.
Если умножить число z на положительное действительное число k, обе его координаты умножатся на k. Направление луча из начала координат останется прежним, а расстояние до точки станет в k раз больше; при 0 < k < 1 оно уменьшится. У множителя единичного модуля длина равна 1, поэтому он не меняет расстояние до начала. Зато его направление задаёт угол поворота: при умножении исходная точка поворачивается вокруг начала координат на этот угол.
Множитель c = a + bi обычно имеет не только направление, но и модуль, отличный от единицы. Поэтому умножение z на c одновременно поворачивает точку и меняет её расстояние от начала координат в |c| раз; если c = 0, все точки переходят в начало. Прибавление числа b устроено иначе: каждая точка z переходит в z + b, то есть смещается на один и тот же вектор, изображающий b. Поэтому преобразование w = cz + b сочетает изменение масштаба и поворот с параллельным переносом.
Функция комплексного переменного задаёт соответствие между точками: исходное число z — это точка, а значение w = f(z) — её образ. Чтобы найти образ одной точки, подставьте её комплексную запись в формулу функции и вычислите действительную и мнимую части результата. Чтобы понять, куда перейдёт множество, нужно применить формулу к каждой его точке и изучить получившиеся значения. Например, для w = z + 2 каждая точка сдвигается вправо на два единичных отрезка.
| Преобразование | Формула | Геометрический смысл | Что происходит с расстоянием до начала координат |
|---|---|---|---|
| Параллельный перенос | w = z + b | Все точки смещаются на один вектор b | Может измениться; общий коэффициент не задаётся |
| Поворот вокруг начала координат | w = (cos φ + i sin φ)z | Поворот на угол φ | Не меняется |
| Растяжение или сжатие относительно начала координат | w = kz, k > 0 | Расстояния от начала умножаются на k | Умножается на k |
| Поворот с изменением масштаба | w = cz | Поворот и растяжение или сжатие | Умножается на |c| |
| Сочетание умножения и переноса | w = cz + b | Поворот и изменение масштаба, затем перенос | После умножения умножается на |c|; после переноса зависит от положения точки |
Сначала определите, какой вид имеет формула: прибавляется ли число, умножается ли переменная или присутствуют оба действия. Для умножения на c найдите его модуль и направление, а для прибавления b представьте вектор переноса. Порядок преобразований в записи w = cz + b такой: сначала умножение, затем перенос.
Изобразить z₁ = 2 + i и z₂ = −1 + 3i на комплексной плоскости и найти их сумму. Каждое число задаёт точку, у которой действительная часть является первой координатой, а коэффициент при i — второй. Поэтому сначала отметим точки, а затем сложим их координаты по отдельности.
Ответ: z₁ + z₂ = 1 + 4i; точки имеют координаты (2; 1) и (−1; 3), сумма изображается точкой (1; 4).
Найти модуль числа z = 3 − 4i и расстояние между точками, изображающими z и 1 + i. Точка z имеет координаты (3; −4), а точка числа 1 + i — (1; 1). Для первого вопроса используем расстояние до начала координат, а для второго — длину отрезка между точками через модуль разности.
Ответ: |3 − 4i| = 5, расстояние между указанными точками равно √29.
Преобразование задано формулой w = (1 + i)z + 2. Нужно найти образ точки z = 1 − i и описать, что происходит с плоскостью. Вычисление покажет координаты образа, а множитель и слагаемое позволят отдельно понять геометрические действия.
Ответ: образ точки z = 1 − i — число w = 4, то есть точка (4; 0). Преобразование сочетает поворот с увеличением масштаба и параллельный перенос.
Ошибка: считать мнимой частью числа bi всё выражение bi. По определению в z = a + bi мнимая часть — действительное число b, а bi является мнимым слагаемым. Путаница возникает из-за того, что в названии части часто повторяют слово «мнимая» рядом с i. Для проверки выделите коэффициент перед i: у числа 5 − 2i мнимая часть равна −2.
Ошибка: находить модуль как сумму a + b. Модуль — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника, а не сумма координат; поэтому применяется формула √(a² + b²). Ошибку провоцирует привычка просто объединять компоненты записи. Проверьте результат на числе 3 + 4i: правильный модуль равен 5, а не 7.
Ошибка: при умножении на комплексное число учитывать только изменение длины. Это верно для положительного действительного множителя, но общий комплексный множитель имеет ещё и направление, поэтому обычно поворачивает точку. Чтобы не упустить поворот, определите аргумент множителя; если аргумент не равен нулю, направление меняется. Например, умножение на i поворачивает точку на прямой угол.
Ошибка: в задаче о функции комплексного переменного назвать только её формулу. Формула задаёт соответствие, поэтому нужно учитывать область определения, исходные точки и их образы. Такая ошибка возникает, когда функцию воспринимают лишь как запись для вычислений. Проверьте ответ подстановкой конкретного z и запишите полученное w как точку (Re w; Im w).
Для работы с комплексной плоскостью нужны действия с действительными числами, координаты точек, теорема Пифагора и основы сложения векторов. Комплексные числа связывают эти знакомые темы: координаты превращают сложение чисел в сложение векторов, а теорема Пифагора помогает находить модуль. Так алгебраические действия получают геометрический смысл. Представление преобразований формулами w = cz + b подготавливает к дальнейшему изучению геометрии, отображений и функций комплексного переменного.
Как изобразить комплексное число на координатной плоскости?
Для числа z = a + bi отметьте точку с координатами (a; b). Действительная часть a задаёт координату по горизонтальной оси, а коэффициент b при i — по вертикальной.
Почему модуль комплексного числа — это расстояние до начала координат?
Точка, изображающая a + bi, имеет координаты (a; b), поэтому вместе с началом координат образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна √(a² + b²), а это и есть модуль числа.
Как понять, какой поворот задаёт умножение на комплексное число?
Запишите множитель в виде c = r(cos φ + i sin φ), где r — его модуль, а φ — угол его направления. Умножение поворачивает точку на угол φ и одновременно умножает расстояние от начала координат на r.
Чем умножение на комплексное число отличается от прибавления комплексного числа?
Умножение меняет положение точки относительно начала координат: обычно оно поворачивает её и меняет расстояние до начала. Прибавление одного и того же числа ко всем точкам задаёт параллельный перенос на постоянный вектор.
Как найти образ точки при заданной функции комплексного переменного?
Подставьте координаты исходной точки, записанной как комплексное число z, в формулу w = f(z). Выполните вычисления и представьте полученное w = u + vi точкой (u; v) на комплексной плоскости.
7. Комплексные числа и геометрические преобразования. Функции комплексного переменного
