§ 1. Множества, кортежи, отображения

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое; для множеств часто используют заглавные латинские буквы A и B. Это понятие позволяет собрать объекты по общему признаку и рассуждать о них сразу, а не по одному. Например, числа 1, 2 и 3 можно объединить в множество A = {1, 2, 3}. При этом порядок записи не задаёт порядок элементов.

Элемент множества — объект, принадлежащий этому множеству. Запись x ∈ A читают «x принадлежит A», а x ∉ A — «x не принадлежит A». Эти обозначения нужны, чтобы точно указывать, какие объекты входят в рассматриваемую совокупность. Например, для A = {1, 2, 3} верно 2 ∈ A, но 5 ∉ A.

Кортеж — упорядоченная последовательность элементов; кортеж из n элементов называют n-кортежем. Его записывают в круглых скобках, например (a, b) или (x₁, x₂, x₃). Кортеж нужен, когда требуется сохранить порядок объектов, например при записи координат точки. В отличие от множества, он может содержать одинаковые элементы несколько раз.

Отображение f из множества A в множество B — правило, которое каждому элементу A ставит в соответствие ровно один элемент B. Запись f: A → B указывает исходное множество A и целевое множество B. Если элемент a переходит в элемент b, то b называют образом a и записывают f(a) = b. Это понятие позволяет описывать закономерные соответствия, в том числе функции.

Как это устроено

Задать множество можно перечислением его элементов или условием, которое эти элементы должны выполнять. Например, множество чётных натуральных чисел можно описать условием делимости на 2, а небольшое конечное множество — просто выписать в фигурных скобках. Выбор способа зависит от того, что понятнее и короче для конкретной задачи. Порядок перечисления не учитывается, потому что он не меняет состав совокупности: {1, 2, 3} и {3, 1, 2} описывают одно множество.

Чтобы сравнить два множества, проверяют не порядок записи, а наличие элементов в каждом из них. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда каждый элемент A принадлежит B и каждый элемент B принадлежит A. Если хотя бы один элемент встречается только в одном множестве, равенства нет. Такая проверка нужна, например, когда множества записаны разными способами: одно перечислением, а другое условием.

В кортеже каждое место имеет свой номер, поэтому перестановка элементов может изменить сам объект. Пары (a, b) и (b, a) обычно различны, поскольку первый элемент одной пары стал вторым в другой. Повторения разрешены: (a, a) — допустимая пара, хотя в соответствующем множестве был бы только один элемент a. Именно сохранение порядка делает кортежи полезными для координат, записей и описания связей между объектами.

Декартово произведение A × B — множество всех упорядоченных пар (a, b), в которых первый элемент взят из A, а второй — из B. Каждую пару составляют, выбирая один элемент из каждого множества, поэтому порядок выбора зафиксирован: A × B обычно не совпадает с B × A. Произведение удобно тем, что превращает два множества в набор возможных сочетаний их элементов. На этих парах можно задавать отношения и описывать соответствия.

Отображение f: A → B должно назначать каждому a из A ровно один элемент B; иначе правило не определяет функцию на всей области. При этом разным элементам A разрешено иметь один и тот же образ, а некоторые элементы B могут вообще не получиться. Например, несколько аргументов могут давать одинаковое значение при возведении в квадрат. Множество значений отображения составляют только те элементы B, которые действительно являются образами.

Основные объекты и их признаки

Сначала определите, что именно описывается: набор объектов, последовательность, пары или правило соответствия. Затем проверьте, имеет ли значение порядок и допускаются ли повторы. Эти признаки помогают выбрать нужное обозначение и не спутать объекты.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 2, 1}. Определите, равны ли множества A и B.

1. Сравним состав множеств, не учитывая порядок записи.
2. Элементы A — это 1, 2 и 3; все они входят в B.
3. Элементы B — те же 1, 2 и 3; каждый из них входит в A.

Ответ: A = B, поскольку множества состоят из одних и тех же элементов. Перестановка элементов в записи не создаёт нового множества.

Задача 2. Для A = {1, 2} и B = {a, b, c} выпишите A × B и укажите число элементов произведения.

1. В каждой паре первым ставим элемент A, а вторым — элемент B.
2. С элементом 1 получаем пары (1, a), (1, b), (1, c).
3. С элементом 2 получаем пары (2, a), (2, b), (2, c); всего выписано шесть пар.
4. Проверим результат по правилу для конечных множеств: |A × B| = |A| · |B| = 2 · 3 = 6.

Ответ: A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}; в произведении 6 элементов. Пары (a, 1) и (b, 2) не подходят, потому что в них нарушен установленный порядок.

Задача 3. Пусть f: {−2, −1, 0, 1, 2} → {0, 1, 4}, где f(x) = x². Укажите образы элементов, множество значений и объясните, является ли f отображением.

1. Подставим каждый аргумент в правило f(x) = x²: получим f(−2) = 4, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4.
2. Все полученные значения входят в целевое множество {0, 1, 4}; значит, правило задаёт значения в B.
3. Проверим главное требование: для каждого элемента области определено ровно одно значение. Повторение образов у разных аргументов этому не мешает.
4. Соберём различные результаты вычислений: это 0, 1 и 4.

Ответ: f — отображение, множество значений равно {0, 1, 4}. Аргументы −2 и 2 имеют общий образ 4, а −1 и 1 — общий образ 1.

Типичные ошибки

Считать множества {1, 2} и {2, 1} различными — ошибка: порядок элементов при задании множества не учитывается. Её допускают, перенося на множество свойства списка или записи чисел. Для проверки перечисли элементы обоих множеств и сравни их состав. Если наборы совпадают, множества равны независимо от порядка записи.

Считать кортежи (1, 2) и (2, 1) одинаковыми тоже неверно, потому что у элементов разные позиции. Путаница возникает, когда кортеж принимают за множество его элементов. Чтобы проверить себя, сравни первый элемент с первым, второй со вторым и так далее. Если хотя бы в одной позиции значения различаются, кортежи различны.

Нельзя путать принадлежность x ∈ A с включением X ⊆ A: в первом случае речь об элементе, во втором — о целом множестве. Ошибка возникает из-за похожего смысла слов «входит» и «содержится». Проверь, что стоит слева от знака: отдельный объект или множество. Например, 2 ∈ {1, 2}, но {2} ⊆ {1, 2}.

Если одному элементу области сопоставить сразу несколько значений, такое соответствие не будет отображением. Иногда это упускают, проверяя только наличие связи и забывая о единственности результата. Для самопроверки выпиши напротив каждого аргумента все назначенные ему значения. У каждого аргумента должна остаться ровно одна запись, хотя одинаковые результаты у разных аргументов допустимы.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно уметь читать буквенные обозначения и понимать условия, задающие объекты, например неравенства или признаки чисел. Множества чисел и их подмножества помогают задавать область определения и множество значений функции. Кортежи и декартовы произведения позволяют описывать упорядоченные данные, отношения и координаты. Отображения служат основой для дальнейшего изучения функций и их свойств.

Что запомнить

• Множество определяется своими элементами, а не порядком их записи.
• Элемент множества обозначают знаком ∈, а включение множеств — знаком ⊆.
• В кортеже порядок элементов важен, повторения допустимы.
• A × B состоит из пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B.
• Отображение каждому элементу области определения ставит в соответствие ровно один элемент.
• Образы разных элементов могут совпадать.
• Множество значений отображения является подмножеством его целевого множества.