"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Тригонометрическая форма комплексного числа делает умножение, деление и возведение в степень заметно проще. При умножении модули перемножают, а аргументы складывают; при делении модули делят, а аргументы вычитают. Формула Муавра обобщает правило умножения на натуральную степень: модуль возводится в степень, аргумент умножается на неё. Эти правила помогают быстро выполнять вычисления и видеть геометрический смысл операций — изменение длины и поворот вектора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме — правило, по которому модули множителей перемножаются, а их аргументы складываются. Если z₁ = r₁(cos α + i sin α) и z₂ = r₂(cos β + i sin β), то z₁z₂ = r₁r₂(cos(α + β) + i sin(α + β)). Это правило удобно, когда нужно перемножить числа с известными модулями и углами.
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме — правило, по которому модуль делимого делится на модуль делителя, а аргумент делителя вычитается из аргумента делимого. Для z₂ ≠ 0 имеем z₁/z₂ = (r₁/r₂)(cos(α − β) + i sin(α − β)). Оно позволяет находить частное без громоздких преобразований действительной и мнимой частей.
Формула Муавра — формула для возведения комплексного числа в тригонометрической форме в натуральную степень: [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Здесь n — натуральное число, r — модуль, φ — аргумент числа. Формула нужна, чтобы быстро находить высокие степени, не выполняя многократное умножение в алгебраической форме.
Аргумент произведения и частного описывает, как меняется угол комплексного числа при операции. У произведения аргументы складываются, у частного — из аргумента делимого вычитается аргумент делителя. Это помогает не только вычислять ответы, но и проверять, в какую сторону повернётся вектор результата.
Пусть z₁ = r₁(cos α + i sin α), z₂ = r₂(cos β + i sin β). При умножении раскрываем скобки по распределительному закону, а затем используем формулы сложения: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. В итоге выражение в скобках становится cos(α + β) + i sin(α + β), а общий множитель равен r₁r₂. Так возникает тригонометрическая форма произведения.
Модуль — длина вектора, изображающего комплексное число на координатной плоскости, а аргумент — угол этого вектора с положительным направлением действительной оси. При умножении длины масштабируются: новая длина равна r₁r₂. Одновременно складываются повороты на α и β, поэтому аргумент результата равен α + β. Например, если умножить число на единичный вектор с углом β, длина не изменится, а вектор повернётся на β.
Чтобы получить формулу деления, можно умножить числитель и знаменатель дроби z₁/z₂ на число, сопряжённое знаменателю. Сопряжённое к r₂(cos β + i sin β) число имеет тот же модуль и аргумент −β, поэтому при умножении аргумент числителя становится α − β. В знаменателе получится r₂², и после сокращения модуль частного окажется r₁/r₂. Делитель должен быть ненулевым: иначе деление не определено.
Геометрически комплексное число можно представить вектором, а умножение — изменением его длины и поворотом. При умножении на число с модулем r длина вектора увеличивается в r раз, а направление поворачивается на аргумент этого числа. При делении длина уменьшается в соответствующее число раз и выполняется поворот на угол, противоположный аргументу делителя. Такой взгляд позволяет быстро проверить знак и порядок углов.
Степень zⁿ — это произведение n одинаковых множителей z. При каждом умножении модуль снова умножается на r, а угол снова увеличивается на φ, поэтому после n шагов получаем модуль rⁿ и аргумент nφ. Отсюда следует формула Муавра. Она особенно полезна при больших n: достаточно возвести модуль в степень, умножить угол и вычислить синус с косинусом полученного угла.
Таблица собирает правила для операций в одном месте. В строках про аргумент учитывайте, что его можно заменить на значение, отличающееся на 2πk, где k — целое число. Проверяйте, что делитель ненулевой, прежде чем применять формулу частного.
| Операция | Модуль результата | Аргумент результата | Тригонометрическая запись |
|---|---|---|---|
| Произведение двух комплексных чисел | r₁r₂ | α + β | r₁r₂(cos(α + β) + i sin(α + β)) |
| Частное двух комплексных чисел при ненулевом делителе | r₁/r₂ | α − β | (r₁/r₂)(cos(α − β) + i sin(α − β)) |
| Обратное число | 1/r | −φ | (1/r)(cos(−φ) + i sin(−φ)) |
| Натуральная степень комплексного числа | rⁿ | nφ | rⁿ(cos nφ + i sin nφ) |
| Изменение аргумента с учётом его определённости с точностью до 2π | Не изменяется | φ + 2πk, k ∈ Z | r(cos(φ + 2πk) + i sin(φ + 2πk)) |
Задача 1. Даны z₁ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) и z₂ = 3(cos(π/4) + i sin(π/4)). Представить произведение в тригонометрической форме. Здесь уже известны модули и аргументы, поэтому достаточно применить правило произведения и привести угол к удобному виду.
Ответ: 6(cos(5π/12) + i sin(5π/12)). Модуль стал больше, поскольку длины множителей перемножились, а направление результата соответствует сумме поворотов.
Задача 2. Найти z₁/z₂ и записать результат в алгебраической форме, если z₁ = 4(cos(π/3) + i sin(π/3)), z₂ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)). Сначала найдём модуль и аргумент частного, затем раскроем запись через значения синуса и косинуса. Модуль делителя равен 2, значит деление допустимо.
Ответ: √3 + i. Порядок вычитания важен: именно он даёт угол, который вместе с аргументом делителя восстанавливает аргумент делимого.
Задача 3. Найти действительную и мнимую части числа z⁸, если z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Высокую степень удобнее вычислить по формуле Муавра: для этого не нужно восемь раз перемножать выражение в скобках. После применения формулы остаётся упростить угол и значения синуса и косинуса.
Ответ: действительная часть равна 256, мнимая — 0. Угол 2π соответствует полному обороту, поэтому вектор результата направлен вдоль положительной действительной оси.
Первая ошибка — складывать или вычитать модули при умножении и делении. Её допускают, перенося привычные действия с углами на длины векторов. Проверка простая: по правилу модули должны перемножаться или делиться, а модуль результата не может быть отрицательным.
Вторая ошибка — при делении складывать аргументы или вычитать аргумент делимого. Часто путают частное с произведением либо не смотрят, какое число стоит в числителе. Запишите дробь z₁/z₂ и правило α − β: сначала аргумент делимого, потом аргумент делителя.
Третья ошибка — считать углы φ и φ + 2π разными аргументами одного направления. Причина в том, что при вычислении забывают о полном обороте. Проверьте синус и косинус: при прибавлении 2πk их значения не меняются, значит тригонометрическая запись задаёт то же число.
Четвёртая ошибка — в формуле Муавра возводить в степень только модуль или только выражение с синусом и косинусом. Так упускают, что показатель действует и на аргумент: он становится nφ. Для самопроверки сверьте всю запись: модуль должен быть rⁿ, а аргумент — nφ.
Для работы нужны алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, понятия модуля и аргумента, а также формулы сложения синуса и косинуса. Геометрическое представление комплексного числа как вектора объясняет, почему умножение связано с изменением длины и поворотом. Дальше эти правила пригодятся при извлечении корней из комплексных чисел, решении уравнений и применении комплексных чисел в тригонометрии.
Почему при умножении аргументы складываются, а не перемножаются?
Аргумент показывает угол поворота числа-вектора. При последовательных поворотах на углы φ и ψ общий поворот равен φ + ψ, поэтому аргументы складываются. Это также следует из формул сложения синуса и косинуса.
Почему при делении нужно вычитать аргументы именно в таком порядке?
Частное z₁/z₂ — это число, которое при умножении на z₂ даёт z₁. Поэтому его аргумент должен дополнить аргумент делителя до аргумента делимого: arg z₁ − arg z₂. Порядок соответствует порядку чисел в дроби.
Можно ли выбирать любой аргумент комплексного числа?
Да, аргумент можно заменить на φ + 2πk, где k — целое число: полный оборот не меняет положение вектора. Обычно выбирают значение из удобного промежутка, например от −π до π. В вычислениях важно учитывать, что аргументы, различающиеся на 2πk, задают одно направление.
Зачем нужна формула Муавра, если степень можно вычислять обычным умножением?
При большой степени обычное умножение приводит к громоздким вычислениям с действительной и мнимой частями. Формула Муавра сразу возводит модуль в степень и умножает аргумент на показатель. Так проще получить результат и определить его части.
Как понять, что два ответа в тригонометрической форме являются одинаковыми?
Сравните модули: они должны быть равны, а аргументы — отличаться на 2πk, где k — целое число. Например, углы π/3 и 7π/3 задают одно направление. Тогда тригонометрические записи обозначают одно и то же комплексное число.
§ 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра
