§ 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

Определения и обозначения

Комплексное неизвестное — переменная z, которая может принимать значения из множества комплексных чисел ℂ. В отличие от решения только в действительных числах, здесь допустимы числа с мнимой частью, например 2 − i. Это нужно, когда действительных значений переменной недостаточно для решения уравнения.

Квадратное уравнение с комплексным неизвестным имеет вид az² + bz + c = 0, где a, b, c — комплексные числа и a ≠ 0. Условие a ≠ 0 означает, что при z² действительно есть ненулевой коэффициент, поэтому степень уравнения равна двум. Эта запись задаёт общий вид уравнения, для которого выводится формула корней.

Дискриминант — комплексное число D = b² − 4ac. Оно входит в формулу корней и позволяет выяснить, совпадают ли корни и как их вычислить. При комплексных коэффициентах D не обязательно будет действительным.

Квадратный корень комплексного числа w — такое комплексное число u, что u² = w. Например, i² = −1, поэтому i и −i являются квадратными корнями числа −1. Для ненулевого w существуют два противоположных корня; именно поэтому в формуле решения учитывают оба знака.

Как это устроено

В общем виде коэффициент при z² обозначен буквой a, и он должен быть ненулевым. Если a = 0, слагаемое az² исчезает, а уравнение превращается в линейное или ещё более простое. Тогда применять формулу квадратного уравнения нельзя: она выведена для уравнения второй степени. Поэтому условие a ≠ 0 проверяют ещё до вычислений.

При a ≠ 0 обе части уравнения можно разделить на a, не меняя множества решений: деление на ненулевое число обратимо. Получаем z² + (b/a)z + c/a = 0 — приведённый вид, в котором коэффициент при z² равен единице. Он удобен для выделения квадрата, хотя конечная формула обычно записывается через исходные a, b и c.

Чтобы выделить полный квадрат, прибавим к обеим частям приведённого уравнения квадрат половины коэффициента при z. Тогда z² + (b/a)z превращается в (z + b/(2a))², а добавленное слагаемое равно b²/(4a²). Перенеся свободную часть и объединив дроби, получаем (z + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²) = D/(4a²). Так возникает дискриминант: он собирает выражение, которое осталось под квадратным корнем.

Любое комплексное число w имеет квадратный корень. Если w = x + yi, можно искать его в виде u + vi: после возведения в квадрат получаем u² − v² + 2uvi, а затем приравниваем действительную и мнимую части числу x + yi. Следовательно, равенство с квадратом можно разрешить относительно z даже тогда, когда D не является положительным действительным числом. Для D = 0 корень равен нулю, и отдельного выбора между двумя противоположными значениями нет.

Из равенства (z + b/(2a))² = D/(4a²) извлекаем квадратный корень с двумя знаками: z + b/(2a) = ±√D/(2a). Перенос слагаемого b/(2a) даёт формулу z = (−b ± √D)/(2a). Знаки «плюс» и «минус» соответствуют двум квадратным корням числа D; если D = 0, обе записи совпадают и дают один корень, учитываемый с кратностью два.

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Сначала вычисли D по исходным коэффициентам, затем найди его квадратный корень и подставь оба знака в общую формулу. Строки о положительном и отрицательном D относятся к частным случаям, когда дискриминант действителен. Если D — недействительное комплексное число, применяй ту же формулу, предварительно вычислив √D.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение z² + 1 = 0.

Здесь коэффициент при z² равен единице, а линейного слагаемого нет. Удобнее сразу выразить z², а затем вспомнить квадратные корни числа −1.

1. Переносим единицу: z² = −1.
2. Так как i² = −1, квадратными корнями числа −1 являются i и −i.
3. Проверяем оба значения: i² + 1 = 0 и (−i)² + 1 = 0.

Ответ: z = i или z = −i.

Задача 2. Решить уравнение z² − 2z + 5 = 0.

Коэффициенты действительные, поэтому вычисление дискриминанта сразу покажет, действительными будут корни или комплексными. Отрицательный результат не означает отсутствия корней в комплексных числах.

1. Находим D: D = (−2)² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
2. Квадратные корни числа −16 — 4i и −4i, так как (4i)² = (−4i)² = −16.
3. Подставляем в формулу: z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.
4. Записываем отдельно два значения: z₁ = 1 + 2i, z₂ = 1 − 2i. Они сопряжены, как и ожидается при действительных коэффициентах.

Ответ: z₁ = 1 + 2i, z₂ = 1 − 2i.

Задача 3. Решить уравнение (1 + i)z² + 2z + (1 − i) = 0.

Здесь коэффициент при z² комплексный, поэтому важно не пропускать комплексную арифметику. Применяем общую формулу; деление на комплексное число выполним через сопряжённое.

1. Коэффициенты: a = 1 + i, b = 2, c = 1 − i. Тогда ac = (1 + i)(1 − i) = 2, а D = 2² − 4 · 2 = −4.
2. Квадратные корни D — 2i и −2i. Поэтому числитель −b ± √D принимает значения −2 + 2i и −2 − 2i.
3. Для первого значения делим на 2a = 2 + 2i: z₁ = (−2 + 2i)/(2 + 2i). Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое 2 − 2i: получаем (−8 + 8i)/8 = −1 + i.
4. Для второго значения: z₂ = (−2 − 2i)/(2 + 2i). Умножение на 2 − 2i даёт (−8)/8 = −1.

Ответ: z₁ = −1 + i, z₂ = −1.

Типичные ошибки

• Считать, что при отрицательном D корней нет. Так рассуждают, вспоминая правило для действительных корней, но в комплексных числах, например, −16 имеет корни ±4i. Проверь себя: уточни, в какой области ищутся решения, и подставь найденные значения в исходное уравнение.

• Записывать только один квадратный корень D. Ошибка возникает, когда забывают, что вместе с √D корнем является −√D; из-за этого теряется одно решение. Проверь себя: подставляй в формулу оба знака ±, если D ≠ 0.

• Путать знак перед корнем или неверно вычислять D = b² − 4ac. Особенно легко ошибиться, если b или коэффициенты комплексные и при возведении в квадрат меняется знак. Проверь себя: подставь коэффициенты в выражение по частям и отдельно возведи найденный √D в квадрат.

• Делить на 2a, не проверив, что a ≠ 0, или делить комплексные числа как обычные дроби. Это приводит к недопустимому шагу либо неверному результату. Проверь себя: сначала установи, что a не равно нулю, а для деления на комплексное число умножь числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя.

Связь с другими темами

Перед решением нужно уметь складывать, умножать и делить комплексные числа, находить сопряжённое и записывать число в алгебраической форме x + yi. Тема продолжает знакомое решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами: сохраняются дискриминант и формула, но область значений расширяется. Этот результат используют при решении уравнений с комплексными коэффициентами и изучении многочленов, где важно учитывать комплексные корни.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид az² + bz + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант равен D = b² − 4ac.
• У любого комплексного числа существует квадратный корень.
• Корни уравнения задаются формулой z = (−b ± √D)/(2a).
• При D = 0 уравнение имеет один корень, учитываемый с кратностью два.
• При D ≠ 0 уравнение имеет два различных комплексных корня.