§ 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения

Определения и обозначения

Корень n-й степени из комплексного числа — это число w, для которого wⁿ равно данному числу z. Например, квадратными корнями из −4 являются числа, квадрат которых равен −4. У ненулевого комплексного числа обычно несколько корней одной степени: именно поэтому при решении уравнений нужно находить все значения, а не останавливаться на первом.

Аргумент комплексного числа — угол φ, задающий направление числа на комплексной плоскости; его отсчитывают от положительного направления действительной оси. Один и тот же луч можно описать углами φ, φ + 2π, φ − 2π и так далее. Поэтому аргументы числа отличаются на 2πk, где k — целое число, а не задаются единственным углом.

Алгебраическое уравнение степени n — уравнение aₙzⁿ + aₙ₋₁zⁿ⁻¹ + … + a₀ = 0, где aₙ ≠ 0. Здесь z рассматривают как комплексное неизвестное, даже если коэффициенты уравнения действительные. Такая запись позволяет применять общие утверждения о числе решений независимо от того, удаётся ли найти их среди действительных чисел.

Корень алгебраического уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого получается верное равенство. Если, например, подстановка числа z обращает левую часть уравнения в нуль, то z является его корнем. Для многочлена корень можно также узнать по делимости на соответствующий линейный множитель, но для проверки ответа достаточно подстановки.

Как это устроено

Для вычислений комплексное число удобно записать как z = r(cos φ + i sin φ), где r — его модуль, а φ — аргумент. В этой форме проще понять, что происходит при возведении числа в степень: длина соответствующего радиус-вектора увеличивается в степени, а поворот повторяется столько раз, сколько указано в показателе. Поэтому по формуле Муавра zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Это превращает сложные действия с действительной и мнимой частями в вычисления с модулем и углом.

Чтобы найти корень w степени n из ненулевого z, надо решить wⁿ = z. Если модуль w равен ρ, а аргумент — θ, то после возведения в степень получаются модуль ρⁿ и аргумент nθ. Значит, ρ = ⁿ√r, а nθ должен совпасть с любым аргументом исходного числа: φ + 2πk. Отсюда получаем θ = (φ + 2πk)/n и формулу wₖ = ⁿ√r[cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)].

Разные аргументы исходного числа необходимы потому, что деление только одного выбранного φ на n даёт лишь один из возможных корней. При k = 0, 1, …, n − 1 получаются n разных направлений, а модуль у каждого корня одинаков. Если увеличить k на n, аргумент корня увеличится на 2π, то есть даст то же самое направление и то же число. Поэтому эти n значений полностью перечисляют корни без повторов.

Нуль нужно отделять от ненулевых чисел: у него нет направления, и аргумент для него не определён. Равенство wⁿ = 0 возможно только при w = 0, так что другого корня нет. Для ненулевого z действует формула с модулем и аргументом, а для нуля она не подходит именно из-за отсутствия аргумента.

Основная теорема алгебры говорит, что многочлен степени n имеет n комплексных корней, если считать их с учётом кратности. Кратность показывает, сколько раз корень повторяется как множитель: например, множитель (z − 1)² означает, что корень 1 учитывается дважды. Поэтому утверждение не означает, что обязательно найдутся n разных чисел; оно гарантирует n корней при таком подсчёте.

Извлечение корня и число корней уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала определи, равно ли исходное число нулю, затем найди модуль и аргумент. Для ненулевого числа подставь n значений k в формулу, а полученные корни при необходимости переведи в алгебраическую форму. При подсчёте корней уравнения не смешивай число корней с учётом кратности и число различных корней.

Разбор задач

Найти квадратные корни из числа −4

Ищем w, для которого w² = −4. Число −4 имеет модуль 4 и аргумент π, поэтому его тригонометрическая форма — 4(cos π + i sin π). По формуле корней выбираем k = 0 и k = 1, поскольку степень равна двум.

1. Модуль каждого корня равен √4 = 2.
2. Аргументы равны (π + 2πk)/2: при k = 0 получаем π/2, при k = 1 — 3π/2.
3. Переходим к алгебраической форме: корни равны 2i и −2i. Проверяем: (2i)² = −4, а (−2i)² = −4.

Ответ: 2i и −2i. Проверка показывает, что оба числа подходят, а перебор двух значений k гарантирует, что других квадратных корней нет.

Найти все кубические корни из числа 8i

Представим 8i в тригонометрической форме. Его модуль равен 8, а аргумент можно взять равным π/2, потому что число расположено на положительной мнимой полуоси. Для кубических корней используем k = 0, 1, 2; модуль каждого из них равен ∛8 = 2.

1. Вычисляем аргументы (π/2 + 2πk)/3. При k = 0, 1, 2 получаем π/6, 5π/6 и 3π/2.
2. Записываем корни: 2(cos π/6 + i sin π/6), 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6), 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2).
3. Используем значения синуса и косинуса: корни равны √3 + i, −√3 + i и −2i.

Ответ: √3 + i, −√3 + i, −2i. Их кубические степени равны 8i; три разных значения соответствуют трём возможным остаткам при выборе k.

Решить уравнение z⁴ + 16 = 0 в комплексных числах

Сначала отделим степенную часть: z⁴ = −16. Правая часть имеет модуль 16 и аргумент π, поэтому модуль каждого корня четвёртой степени равен ⁽⁴⁾√16 = 2. Поскольку рассматриваются комплексные числа, нельзя ограничиться проверкой действительных значений.

1. Записываем аргументы корней: (π + 2πk)/4, где k = 0, 1, 2, 3.
2. Получаем углы π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4.
3. Переходим к алгебраической форме: корни — √2 + i√2, −√2 + i√2, −√2 − i√2 и √2 − i√2.

Ответ: z ∈ {√2 + i√2, −√2 + i√2, −√2 − i√2, √2 − i√2}. При возведении каждого числа в четвёртую степень получается −16. Найдены четыре корня, как и должно быть для уравнения четвёртой степени с учётом кратности.

Типичные ошибки

Если взять только один аргумент и разделить его на n, получится лишь один корень, а не полный набор. Так ошибаются, потому что забывают: угол исходного числа можно заменить на φ + 2πk. Проверяй число найденных значений и перебирай k от 0 до n − 1.

Нельзя делить на n только φ, оставляя добавку 2πk без деления: аргумент корня равен (φ + 2πk)/n целиком. Иначе направления будут неверными и возведение результата в степень не вернёт исходное число. Проверка wⁿ = z сразу обнаружит такую ошибку.

Бесконечный перебор k приводит к повторению уже найденных корней. Повторения возникают потому, что увеличение k на n добавляет к аргументу корня 2π. Для списка без дублей используй только n значений: 0, 1, …, n − 1.

Неверно считать, что у уравнения степени n всегда n различных корней. Теорема гарантирует n корней с учётом кратности, а некоторые значения могут повторяться. Чтобы проверить подсчёт, учитывай повторные множители многочлена и отдельно отмечай число различных корней.

Связь с другими темами

Для извлечения корней нужны тригонометрическая форма комплексного числа, модуль, аргумент, формула Муавра и правила действий с комплексными числами. Эти знания позволяют переводить уравнение wⁿ = z в вычисления с длинами и углами. Найденные корни применяют при решении алгебраических уравнений и разложении многочленов на множители.

Число корней уравнения связано с основной теоремой алгебры и кратностью корня. Кратность объясняет, почему степень многочлена определяет общее число корней, но не обязательно число различных решений. Это различие пригодится и при разложении многочлена, и при проверке результатов решения.

Что запомнить

• Ненулевое комплексное число имеет ровно n различных корней n-й степени.
• Модуль каждого корня равен корню n-й степени из модуля исходного числа.
• Аргументы корней имеют вид (φ + 2πk)/n.
• Для нахождения всех корней достаточно взять k = 0, 1, …, n − 1.
• Нуль — единственный корень любой натуральной степени из нуля.
• Уравнение степени n имеет n комплексных корней с учётом кратности.