§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; хотя бы один из коэффициентов a и b должен быть ненулевым. Это условие не позволяет считать линейным уравнением запись, в которой переменные вообще не участвуют. По такой записи можно найти все пары чисел, связывающие значения x и y указанным равенством.

Решение линейного уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой равенство становится верным. Порядок важен: первое число относится к x, второе — к y. Это определение помогает отличить ответ от отдельного значения переменной: например, число x само по себе не задаёт точку на плоскости.

Линейное неравенство с двумя переменными — неравенство вида ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c или ax + by ≥ c. В отличие от уравнения, оно задаёт не условие равенства, а требование к сравнению выражений. По знаку можно понять, какие пары подходят, а какие нет.

Решение линейного неравенства с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное неравенство. Координаты проверяют вместе, так как именно их сочетание определяет значение ax + by. Понятие нужно, чтобы находить и изображать все подходящие точки, а не только одну пару.

Как это устроено

Уравнение ax + by = c задаёт множество всех пар, для которых выражение ax + by равно c. При ненулевых a и b можно выразить y через x: y = (c − ax) / b. Это линейная зависимость, поэтому её график — прямая. Чтобы построить прямую, достаточно вычислить координаты двух различных её точек: через две такие точки проходит единственная прямая.

Принадлежность пары проверяют непосредственной подстановкой: вместо x ставят первую координату, вместо y — вторую, затем выполняют действия. Если получилось равенство, пара решает уравнение; если после подстановки в неравенство знак сравнения верен, пара решает неравенство. Такой способ работает независимо от того, строили ли уже график, и позволяет проверять результат построения.

В неравенстве все точки, лежащие по одну сторону от граничной прямой ax + by = c, дают значения выражения ax + by либо меньше c, либо больше c. Поэтому множество решений образует полуплоскость. На самой прямой выражение равно c: при строгих знаках < и > такие точки не подходят, а при ≤ и ≥ подходят, поскольку равенство разрешено.

Чтобы выбрать нужную сторону прямой, берут пробную точку, которая не лежит на границе, и проверяют неравенство подстановкой. Если точка удовлетворяет условию, выбирают полуплоскость, в которой она находится; если нет — противоположную. Нельзя определять сторону только по направлению знака: при изменении положения прямой подходящая область тоже может измениться. Обычно удобно проверить начало координат, если оно не лежит на граничной прямой.

Если один коэффициент равен нулю, переменная с этим коэффициентом исчезает: при a = 0 уравнение by = c задаёт горизонтальную прямую, а при b = 0 уравнение ax = c — вертикальную. Неравенства такого вида задают соответствующие области по одну сторону от этих прямых. Если a = b = 0, остаётся утверждение 0 = c либо числовое неравенство 0 < c, 0 > c и так далее. Когда оно верно, подходят все пары чисел, а когда неверно — решений нет.

Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Сначала определите, ищете ли вы точки на прямой или в области по одну её сторону. Затем используйте строку о границе: она подскажет, нужно ли включать линию в ответ. Для проверки конкретной пары достаточно выполнить подстановку, не строя весь график.

Разбор задач

Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x − 2y = 4, и привести ещё одну пару-решение.

1. Подставим координаты пары в левую часть: 3 · 2 − 2 · 1 = 6 − 2 = 4.
2. Полученное значение равно правой части уравнения, значит, пара (2; 1) действительно является решением.
3. Чтобы найти другую пару, выразим y: 3x − 2y = 4, поэтому y = (3x − 4) / 2. Выберем, например, x = 0; тогда y = −2.
4. Проверим новую пару: 3 · 0 − 2 · (−2) = 4. Равенство верно, значит, (0; −2) тоже решение.

Ответ: (2; 1) — решение; ещё одна пара-решение — (0; −2).

Изобразить множество решений неравенства 2x + y ≤ 4.

1. Сначала заменим знак неравенства на равенство и построим границу 2x + y = 4. При x = 0 получаем y = 4, а при y = 0 — x = 2, поэтому на прямой лежат точки (0; 4) и (2; 0).
2. Проведём через эти точки прямую. Так как в условии стоит знак ≤, граница включена в множество решений и изображается сплошной линией.
3. Проверим точку (0; 0), которая не лежит на прямой: 2 · 0 + 0 ≤ 4, то есть 0 ≤ 4. Неравенство верно, поэтому подходят точки той полуплоскости, где находится начало координат.

Ответ: полуплоскость со стороны начала координат вместе с прямой 2x + y = 4.

Определить, какие из точек A(0; 0), B(1; 2), C(3; −1) принадлежат множеству решений системы x + y > 1, 2x − y ≤ 4, и описать это множество графически.

1. Для A(0; 0) первое условие даёт 0 + 0 > 1 — это неверно. Точка не подходит, даже если выполнено второе условие, поскольку система требует выполнения обоих неравенств.
2. Для B(1; 2): 1 + 2 > 1 верно, а 2 · 1 − 2 ≤ 4 тоже верно. Значит, B принадлежит множеству решений.
3. Для C(3; −1): 3 + (−1) > 1 верно, но 2 · 3 − (−1) ≤ 4 превращается в 7 ≤ 4, что неверно. Точка C не подходит.
4. Построим граничные прямые x + y = 1 и 2x − y = 4. Для первого неравенства выбираем сторону, где пробная точка (0; 0) не удовлетворяет условию, а для второго — сторону, где она удовлетворяет условию. В первом случае граница исключается, во втором включается.

Ответ: из перечисленных точек подходит B(1; 2). Графически множество решений — пересечение выбранных полуплоскостей; граница x + y = 1 не входит, а граница 2x − y = 4 входит.

Типичные ошибки

Ошибочно называть решением уравнения отдельное значение x или y: равенство связывает две координаты, и обе должны подходить одновременно. Такую ошибку допускают, когда переносят привычку решать уравнения с одной переменной. Проверка проста: запишите пару (x; y) и подставьте оба числа в исходное уравнение.

Одной найденной точки недостаточно, чтобы построить прямую: через неё можно провести бесконечно много прямых. Иногда кажется, что уравнение уже однозначно задаёт график, поэтому вычисления прекращают слишком рано. Найдите вторую точку с другими координатами и проверьте обе подстановкой в уравнение.

Нельзя выбирать полуплоскость только по знаку неравенства: направление зависит также от положения граничной прямой. Такая ошибка возникает, если запомнить правило без проверки на конкретном примере. Возьмите точку вне прямой, подставьте её координаты и выясните, верно ли неравенство.

Ещё одна ошибка — включать границу при строгом знаке или исключать её при ≤ и ≥. Это происходит, когда черту под знаком неравенства не учитывают. Подставьте любую точку граничной прямой: выражение станет равно c, поэтому граница подходит только для нестрогого неравенства.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями и неравенствами нужно уметь подставлять значения переменных в выражения, выполнять действия с числами и строить прямую по двум точкам. Эти навыки позволяют перейти от записи к графическому изображению и проверить найденные точки. Позже тот же способ помогает решать системы неравенств: их область решений получают как пересечение областей отдельных условий. Такие области используются при нахождении допустимых значений и в задачах линейного программирования.

Что запомнить

• Решение уравнения или неравенства с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Уравнение ax + by = c при ненулевых a и b задаёт прямую.
• Чтобы провести прямую, достаточно найти две её точки.
• Линейное неравенство задаёт одну из полуплоскостей относительно граничной прямой.
• Знаки ≤ и ≥ включают граничную прямую, знаки < и > — исключают.
• Пробная точка помогает выбрать полуплоскость, удовлетворяющую неравенству.