"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Система уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными: их нужно выполнить одновременно. Решить систему — значит найти все наборы значений, подходящие каждому уравнению. Для этого используют подстановку, сложение и графический способ. Выбор метода зависит от вида уравнений, а проверка в исходной системе помогает не принять лишнее значение за решение и не пропустить нужное.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе с неизвестными x и y одна и та же пара чисел рассматривается во всех уравнениях. Это понятие нужно, когда условия задачи связаны между собой и должны соблюдаться вместе.
Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, обращающий в верное равенство каждое уравнение системы. Для системы с x и y это обычно пара (x; y). Определение помогает отличить общий ответ от значения, которое подходит только одному уравнению.
Равносильные системы — системы с одним и тем же множеством решений. Переход от одной системы к другой допустим, если он не теряет подходящие наборы значений и не добавляет неподходящие. Это понятие нужно, чтобы обосновать преобразования во время решения.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной неизвестной подставляют в другое уравнение. Так систему сводят к уравнению с одной переменной, которое обычно проще решить. После этого по найденному значению восстанавливают остальные неизвестные.
Решить систему — значит найти такие значения неизвестных, при которых верны все её уравнения сразу. Если решить каждое уравнение отдельно, можно получить разные наборы значений, и ни один из них не подойдёт остальным уравнениям. Поэтому после решения одного уравнения его ответы нужно сопоставить с условиями других. Геометрически общие решения соответствуют точкам, принадлежащим графикам всех уравнений системы.
Равносильные преобразования упрощают систему, сохраняя все её решения. Например, к одному уравнению можно прибавить другое, умноженное на число: исходные равенства тогда позволяют восстановить прежние условия. Но деление на выражение с неизвестной требует осторожности: если выражение равно нулю, делить на него нельзя. Сначала проверяют этот случай отдельно, а затем рассматривают ветвь, где делитель не равен нулю; иначе часть решений может исчезнуть.
При подстановке сначала выбирают уравнение, из которого проще выразить одну неизвестную, например y = 6 − x. Затем это выражение подставляют вместо y в другое уравнение, получая уравнение только с x. Решив его, находят соответствующие значения y по выражению на первом шаге. Такой ход уменьшает число неизвестных, но требует восстановить всю пару, а не остановиться на корнях промежуточного уравнения.
Для метода сложения уравнения при необходимости умножают на числа, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными. Например, если получились слагаемые 3x и −3x, при сложении они взаимно уничтожаются. Складывать нужно левые части между собой и правые части между собой: так из двух верных равенств получается верное равенство. После нахождения оставшейся переменной её значение подставляют в исходное уравнение, чтобы найти другую.
Проверка состоит в подстановке найденной пары в каждое уравнение исходной системы. Если все равенства верны, пара действительно является решением; если хотя бы одно неверно, ответ нужно пересмотреть. Проверка особенно нужна после деления на выражение с неизвестной или других преобразований, которые могли изменить множество решений. Она также помогает обнаружить вычислительную ошибку при восстановлении второй переменной.
| Способ | Основная идея | Когда удобно применять | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить в другое уравнение | Когда одну переменную легко выразить | Подставить найденные значения в исходную систему |
| Сложение | Сделать коэффициенты при одной неизвестной противоположными и сложить уравнения | Когда коэффициенты позволяют быстро исключить переменную | Вернуться к исходным уравнениям и проверить пару |
| Графический способ | Найти точки пересечения графиков уравнений | Когда требуется оценить число решений или получить приближённый ответ | Учитывать точность построения и проверять точные значения алгебраически |
Сначала посмотрите, можно ли легко выразить переменную или исключить её сложением: так обычно удаётся получить точный ответ. Графический способ полезен для наглядности и оценки числа решений, но точность зависит от построения. Какой бы метод вы ни выбрали, найденную пару проверяют в исходной системе.
Здесь коэффициенты при y уже противоположны, поэтому удобно сложить уравнения. Это исключит y и позволит сначала найти x, а затем восстановить пару. В конце проверим её в обоих исходных равенствах.
Складываем уравнения почленно: (x + y) + (x − y) = 7 + 1. Получаем 2x = 8, откуда x = 4.
Подставляем x = 4 в первое уравнение: 4 + y = 7, значит, y = 3. Теперь проверяем пару (4; 3): 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.
Ответ: (4; 3).
В первом уравнении y уже выражена через x, поэтому применим подстановку. После неё останется квадратное уравнение, которое может дать несколько значений x. Каждое из них нужно использовать, чтобы найти y и проверить отдельную пару.
Подставляем y = x² во второе уравнение: x + x² = 6, то есть x² + x − 6 = 0. Разложение на множители даёт (x + 3)(x − 2) = 0, поэтому x = −3 или x = 2.
Находим y из равенства y = x². При x = −3 получаем y = 9, а при x = 2 получаем y = 4.
Проверяем: для (−3; 9) имеем 9 = (−3)² и −3 + 9 = 6; для (2; 4) имеем 4 = 2² и 2 + 4 = 6.
Ответ: (−3; 9), (2; 4).
Второе уравнение задаёт y через x, поэтому его удобно подставить в первое. Получится квадратное уравнение, корни которого задают возможные значения x. Для каждого корня восстановим y и проверим оба условия.
Подставляем y = x + 1: x² + (x + 1)² = 25. Раскрываем скобки и упрощаем: 2x² + 2x − 24 = 0, или x² + x − 12 = 0.
Разложим на множители: (x + 4)(x − 3) = 0. Значит, x = −4 или x = 3; по формуле y = x + 1 получаем соответственно y = −3 и y = 4.
Проверяем пару (−4; −3): 16 + 9 = 25 и −3 = −4 + 1. Для пары (3; 4): 9 + 16 = 25 и 4 = 3 + 1.
Ответ: (−4; −3), (3; 4).
Считать решением пары значений, которые подходят только одному уравнению, — значит забыть, что условия системы выполняются одновременно. Такую ошибку допускают, когда останавливаются после решения промежуточного уравнения. Проверяйте каждую пару во всех исходных уравнениях: достаточно одного неверного равенства, чтобы её отвергнуть.
При сложении или вычитании уравнений иногда меняют знак у одного слагаемого, а остальные части оставляют без согласованного преобразования. Это происходит, если воспринимать действие как изменение отдельных членов, а не целых равенств. Складывайте левые части между собой и правые части между собой; затем проверьте, что исходные равенства действительно дают полученное.
Деление на выражение с переменной без проверки нуля может привести к потере решений. Причина в том, что при делении на ноль операция не определена, а случай, когда делитель равен нулю, исчезает из рассуждения. Приравняйте это выражение к нулю и рассмотрите случай отдельно, прежде чем делить.
Корни уравнения, полученного после подстановки, сами по себе не являются полными решениями системы. Можно забыть найти вторую переменную или не заметить, что преобразование изменило условия. Для каждого корня восстановите остальные неизвестные и подставьте весь набор значений во все уравнения исходной системы.
Для решения систем нужны навыки решения линейных и квадратных уравнений, преобразования выражений и нахождения корней. Если эти действия вызывают затруднение, сначала стоит повторить соответствующие правила: они встречаются почти в каждом алгебраическом методе решения системы.
Графики уравнений связывают вычисления с геометрией: общие решения соответствуют точкам пересечения графиков. Построение помогает представить число решений и получить приближённые координаты, а алгебраические вычисления позволяют уточнить ответ.
Системы пригодятся при решении уравнений и неравенств с параметрами, где условия могут меняться вместе с параметром. Они также помогают составлять математические модели: разные уравнения описывают ограничения одной задачи, которые должны выполняться одновременно.
Чем решение системы отличается от решения отдельного уравнения?
У отдельного уравнения проверяют, обращают ли значения его неизвестных равенство в верное. Решение системы должно одновременно подходить ко всем входящим в неё уравнениям. Поэтому решение каждого уравнения по отдельности ещё не даёт решения системы.
Как выбрать между методом подстановки и методом сложения?
Подстановка удобна, когда одну неизвестную легко выразить через другую. Сложение выбирают, если коэффициенты можно быстро сделать противоположными и исключить переменную. После решения любым способом проверяют полученную пару в исходной системе.
Почему при решении системы можно складывать уравнения?
Если два верных равенства сложить почленно, получится ещё одно верное равенство. Коэффициенты при одной неизвестной можно подобрать так, чтобы при сложении она исчезла. Это упрощает систему, но полученное уравнение используют вместе с исходными условиями, а результат проверяют.
Можно ли потерять решение при делении на выражение с переменной?
Да. Если выражение может быть равно нулю, деление на него исключит случай, в котором оно равно нулю, и можно потерять решение. Сначала отдельно рассматривают этот случай, а затем делят только при условии, что выражение не равно нулю.
Как понять, что найденная пара действительно является решением системы?
Подставьте оба значения во все исходные уравнения по очереди. Если каждое равенство верно, пара является решением. Если хотя бы одно уравнение не выполняется, эта пара не подходит.
§ 33. Системы уравнений
