§ 13. Элементы статистики

Определения и обозначения

Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями. Он показывает, насколько далеко друг от друга расположены крайние данные. По размаху удобно оценить общий разброс, хотя он не рассказывает о каждом значении внутри ряда.

Мода ряда — значение, которое встречается чаще других. Она помогает увидеть наиболее распространённый результат, например самую частую оценку. Моды может не быть, если все значения встречаются поровну, или их может быть несколько, если несколько значений делят наибольшую частоту.

Медиана ряда — значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. При нечётном числе элементов медианой будет единственное среднее значение, а при чётном — среднее арифметическое двух центральных. Эта характеристика показывает середину ряда и помогает описать его типичный уровень.

Среднее арифметическое ряда — сумма всех его значений, делённая на количество значений. Оно характеризует ряд в целом, учитывая каждое наблюдение. Например, средний результат позволяет кратко сравнить успеваемость двух групп, хотя не показывает, как именно распределены оценки.

Как это устроено

Перед поиском некоторых характеристик данные располагают по возрастанию — от меньшего к большему. Так крайние значения оказываются на концах ряда, а центральные легко найти по их местам. Для среднего арифметического порядок не важен, но упорядоченный список помогает не пропустить элементы при поиске других характеристик.

Размах находят по двум крайним значениям: из наибольшего вычитают наименьшее. Это объясняет, почему он показывает ширину промежутка, в котором находятся данные. Но размах не учитывает, как расположены остальные значения: ряды с разным распределением могут иметь одинаковые крайние числа и один и тот же размах.

Чтобы найти моду, подсчитывают, сколько раз встречается каждое значение. Сравнение частот показывает, какое число повторяется чаще всего. Если наибольшая частота принадлежит нескольким значениям, все они становятся модами; когда частоты одинаковы у всех чисел, выделить самое частое значение нельзя.

Место медианы определяется числом элементов после упорядочивания. Если элементов нечётное количество, ровно один оказывается посередине и столько же чисел остаётся слева и справа. Если количество чётное, два центральных элемента занимают середину, поэтому за медиану принимают их среднее арифметическое.

Среднее арифметическое получают, распределяя общую сумму поровну между всеми наблюдениями. Когда одинаковые значения повторяются, можно не складывать их по одному: каждое значение умножают на частоту, то есть число повторений. Сумма этих произведений равна сумме всех данных, а делить её нужно на общее количество наблюдений.

Статистические характеристики ряда данных

Сначала определите, какую именно характеристику требуется найти, а затем следуйте соответствующей строке таблицы. Для медианы и размаха начните с упорядочивания данных, а для моды — с подсчёта повторений. Сравнивая несколько характеристик, вы получите более полное представление о ряде.

Разбор задач

Задача 1. Для ряда 4, 7, 5, 9, 5 найдите размах и моду. Чтобы не перепутать крайние значения и не упустить повторения, сначала удобно привести числа к порядку возрастания. Затем отдельно проверим разницу крайних чисел и частоту каждого значения.

1. Упорядочим ряд: 4, 5, 5, 7, 9. Наименьшее значение — 4, наибольшее — 9.
2. Вычислим размах: 9 − 4 = 5. Для поиска моды сравним частоты: число 5 встречается дважды, остальные числа — по одному разу.

Ответ: размах равен 5, мода — 5. Повторение числа 5 делает его наиболее частым, а размах определяется только концами упорядоченного ряда.

Задача 2. Для ряда 2, 8, 4, 6 найдите медиану. В ряду четыре числа, поэтому единственного центрального элемента не будет. Нужно определить два значения, которые окажутся посередине после упорядочивания.

1. Расположим числа по возрастанию: 2, 4, 6, 8. Центральные элементы — 4 и 6, между ними находятся остальные числа ряда.
2. Найдём их среднее арифметическое: (4 + 6) : 2 = 5. Это и есть медиана при чётном числе элементов.

Ответ: медиана равна 5. Она может не совпадать ни с одним значением исходного ряда, потому что находится как середина между двумя центральными числами.

Задача 3. Оценки пяти учеников: 3, 4, 4, 5, 5. Найдите среднее арифметическое, медиану и моду ряда. Ряд уже упорядочен, поэтому его центральный элемент можно определить сразу. Для среднего учтём все оценки, а для моды сравним число повторений.

1. Сложим оценки и разделим сумму на пять: (3 + 4 + 4 + 5 + 5) : 5 = 21 : 5 = 4,2. Это среднее арифметическое.
2. В ряду из пяти значений третье число центральное, значит медиана равна 4. Числа 4 и 5 встречаются по два раза, чаще, чем 3.
3. Поскольку у 4 и 5 одинаковая наибольшая частота, обе оценки являются модами. Проверка частот помогает не выбрать только одну из них.

Ответ: среднее арифметическое — 4,2, медиана — 4, моды — 4 и 5. Эти результаты различаются, потому что каждая характеристика описывает ряд по-своему.

Типичные ошибки

Размах иногда находят сложением наибольшего и наименьшего значений. Так можно ошибиться, потому что размах — это расстояние между концами ряда, а расстояние вычисляют вычитанием. Проверьте себя: из большего числа должно вычитаться меньшее, поэтому результат неотрицателен.

Медиану могут искать прямо в неупорядоченном ряду, принимая элемент, стоящий посередине записи. Порядок исходных чисел случаен, поэтому такое место не обязательно соответствует середине по величине. Перед поиском медианы расположите числа по возрастанию и только затем отсчитывайте центральные элементы.

При чётном количестве значений иногда выбирают одно из двух центральных чисел. Но ни одно из них не делит упорядоченный ряд ровно пополам: середина находится между ними. Найдите среднее арифметическое этой пары и проверьте, что центральных элементов было именно два.

Некоторые считают, что мода всегда только одна. Это неверно: несколько значений могут иметь одну и ту же наибольшую частоту, а при одинаковой частоте всех значений мода не выделяется. Для проверки подсчитайте повторения каждого числа и сравните все частоты, а не только первые встретившиеся.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужно уметь сравнивать и упорядочивать числа, находить среднее арифметическое и считать повторения. Эти навыки помогают последовательно обработать ряд и не ошибиться в вычислениях. Упорядочивание особенно пригодится при поиске крайних и центральных значений.

Статистические характеристики применяют к результатам измерений, опросов и наблюдений. Например, можно сравнить среднее время поездки или определить, какой ответ выбирали чаще всего. Каждая характеристика отвечает на свой вопрос о собранных данных.

Таблицы и диаграммы помогают наглядно представить результаты и сравнить выборки. По ним проще увидеть частоты, общий разброс и различия между группами. Затем статистические характеристики позволяют сформулировать выводы о данных.

Что запомнить

• Сначала упорядочьте ряд, если требуется найти медиану или крайние значения.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• При нечётном числе элементов медиана — центральный элемент.
• При чётном числе элементов медиана — среднее двух центральных.
• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.