40. Сбор и группировка статистических данных

Определения и обозначения

Статистические данные — результаты наблюдений или измерений, собранные для изучения некоторого признака. Каждый результат относится к конкретному объекту или наблюдению: например, отметка — к ученику, а измеренный рост — к человеку. Это уточнение помогает понять, что именно посчитано и к чему относится каждое число. Такие данные нужны, чтобы описывать не отдельный случай, а целую группу наблюдений.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в наборе данных. Если оценка 4 записана трижды, её частота равна 3. Подсчёт частот показывает, какие результаты встречаются чаще, и позволяет представить длинный список в более удобном виде. Частоту не следует путать с самим значением признака.

Относительная частота — доля наблюдений с данным значением от общего числа наблюдений. Её находят, разделив частоту на объём данных, то есть на общее количество результатов: если частота равна n, а наблюдений N, то относительная частота равна n/N. Чтобы выразить долю в процентах, результат умножают на 100%. Она помогает сравнивать наборы разного размера.

Группировка данных — объединение значений в категории или интервалы, чтобы упорядочить большой набор и увидеть его состав. Например, рост можно распределить по диапазонам, а ответы на вопрос — по категориям. Группировка сокращает число строк в таблице, но её границы нужно выбирать так, чтобы каждое наблюдение попало ровно в одну группу. Тогда результаты можно надёжно подсчитать и сравнить.

Как это устроено

Сначала определяют, какой признак изучают, у кого или у чего его наблюдают и сколько наблюдений нужно собрать. Это нужно, чтобы результаты отвечали на один понятный вопрос: нельзя без пояснения смешивать, например, оценки за разные работы или измерения разных признаков. Число наблюдений задаёт объём будущего набора. Если заранее не определить объекты и признак, данные могут оказаться несопоставимыми.

Данные записывают без потери результатов, сохраняя каждое наблюдение, а затем проверяют записи. Важно убедиться, что все значения относятся к одному признаку: иначе одна таблица будет объединять несопоставимые сведения. Пропуск может изменить подсчёты, а случайный повтор — увеличить частоту значения. Поэтому полезно сверить число записей с числом проведённых наблюдений и уточнить непонятные результаты.

Для небольшого набора выписывают различные значения и считают, сколько раз встречается каждое. Так повторяющиеся результаты заменяются короткой таблицей, в которой видно распределение данных. После подсчёта складывают все частоты: каждый исходный результат должен быть учтён ровно один раз. Поэтому сумма обязана совпасть с числом наблюдений; несовпадение указывает на ошибку подсчёта или пропущенную запись.

Если значений много, их объединяют в категории или непересекающиеся интервалы. Так таблица не превращается в длинный перечень, а общую картину распределения легче заметить. Интервалы должны охватывать весь диапазон данных и не пересекаться, иначе результат останется без группы или будет учтён дважды. Для значений на границах заранее устанавливают правило, к какому интервалу их относить.

Частоты групп заносят в таблицу, а при необходимости рядом записывают относительные частоты. Для каждой строки частоту делят на общее число наблюдений, поэтому доля показывает, какую часть набора составляет эта группа. Проверка итогов помогает убедиться, что подсчёт верен: сумма частот равна объёму данных, а сумма долей равна 1, или 100%. При округлении процентов итог может немного отличаться от 100% из-за округления.

Таблица распределения собранных данных

Таблица распределения показывает, какие значения или группы встретились и сколько наблюдений относится к каждой строке. В столбце относительной частоты записывают частоту, делённую на общее число наблюдений; при желании её можно выразить в процентах. Строка «Итого» нужна для проверки полноты подсчёта.

Разбор задач

Оценки за контрольную

В журнале записаны оценки: 4, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5. Нужно составить таблицу частот. Сначала найдём различные оценки: это 3, 4 и 5. Затем посчитаем появления каждой оценки и проверим, что вместе они дают восемь наблюдений.

1. Запишем значения в порядке возрастания: 3, 4, 5.
2. Оценка 3 встречается дважды, оценка 4 — трижды, оценка 5 — трижды.
3. Сложим частоты: 2 + 3 + 3 = 8. Это совпадает с количеством оценок в условии.

Получаем таблицу: для оценок 3, 4 и 5 частоты равны соответственно 2, 3 и 3. Ответ: таблица частот — (3; 2), (4; 3), (5; 3). Проверка суммы показывает, что все записи учтены.

Посетители кружка

За неделю число посетителей по дням было таким: 12, 15, 12, 18, 15, 12, 16. Нужно найти частоту и относительную частоту каждого значения. Всего записано семь наблюдений, поэтому каждую найденную частоту будем делить на 7. Сначала удобно упорядочить различные значения.

1. Различные значения по возрастанию: 12, 15, 16, 18.
2. Подсчитаем частоты: 12 встречается три раза, 15 — два раза, 16 — один раз, 18 — один раз.
3. Разделим частоты на 7: получим 3/7, 2/7, 1/7 и 1/7. В десятичной записи это примерно 0,429; 0,286; 0,143 и 0,143.
4. Проверим: 3 + 2 + 1 + 1 = 7, а сумма долей равна 7/7 = 1.

Ответ: значениям 12, 15, 16 и 18 соответствуют частоты 3, 2, 1 и 1, а относительные частоты — 3/7, 2/7, 1/7 и 1/7. Доли показывают, какую часть недели каждый результат составляет. При округлении десятичных значений сумма может немного отличаться от 1.

Рост учеников

Рост 20 учеников нужно распределить по интервалам 140–149, 150–159, 160–169 и 170–179 см. Чтобы составить числовую таблицу частот, нужны сами 20 измерений: в условии указано их количество и интервалы, но не перечислены результаты. Поэтому конкретные частоты определить нельзя. Можно, однако, описать порядок группировки и проверки.

1. Запишем четыре заданных интервала по возрастанию и уточним правило границ: измерения в целых сантиметрах от 140 до 149 относим к первой группе, от 150 до 159 — ко второй и так далее.
2. Для каждого из 20 измерений найдём единственный подходящий интервал и поставим в нём отметку. Так ни одно значение не будет учтено дважды.
3. Посчитаем отметки в каждом интервале и внесём полученные числа в столбец частот.
4. Сложим частоты. Если интервалы охватили все измерения, сумма должна быть равна 20; иначе нужно проверить границы и записи.

Ответ: таблица строится с четырьмя указанными интервалами, а частоты находятся подсчётом измерений в каждой группе. Без самих значений роста числовые частоты не определяются. Проверка результата — сумма частот, равная 20.

Типичные ошибки

Путают значение признака и его частоту: например, число 3, показывающее количество повторений, принимают за ещё одно исходное наблюдение. Такую ошибку допускают, когда смешивают данные и результаты подсчёта. Проверка: частота должна стоять в столбце подсчёта, а не добавляться к списку исходных значений. Сумма частот при этом должна объясняться всеми наблюдениями.

Относительную частоту иногда находят, деля частоту на число различных значений, а не на общее число наблюдений. Причина — неверный выбор общего количества, с которым сравнивают группу. Нужно делить на объём всего набора: например, при семи записях знаменатель равен 7. Проверить себя можно сложением долей: для всех групп вместе должна получиться 1 или 100%.

Интервалы с пробелами или пересечениями приводят к тому, что значения пропускаются или считаются дважды. Обычно это происходит, когда не оговорено, кому принадлежат граничные значения. Заранее задайте правило для границ и проверьте несколько соседних интервалов: они должны идти без пробелов, а один результат должен относиться только к одному из них. Затем убедитесь, что крайние интервалы охватывают весь набор.

Если не проверить итоги таблицы, можно не заметить пропуск или ошибку подсчёта. Часто считают строки по отдельности, забывая сравнить результат с исходным количеством данных. Сложите частоты и сравните сумму с числом наблюдений; для относительных частот проверьте сумму долей. Если доли округляли, небольшое отклонение от 1 или 100% может быть следствием округления.

Связь с другими темами

Для работы с таблицами полезно уметь упорядочивать натуральные и десятичные числа: тогда значения и интервалы удобно располагать по возрастанию. Деление нужно, чтобы находить относительную частоту, а понятие доли помогает понять полученный результат. Эти навыки позволяют не только составлять таблицу, но и объяснять, что показывают её числа.

Таблицы частот и относительных частот используют при построении диаграмм и анализе статистических данных. Частоты помогают увидеть, сколько наблюдений относится к каждой группе, а доли — сравнить группы с учётом общего числа результатов. По таблице проще подготовить данные к наглядному представлению и сделать вывод о распределении изучаемого признака.

Что запомнить

• Статистические данные получают в результате наблюдений или измерений.
• Частота показывает, сколько раз встретилось значение или группа значений.
• Сумма частот равна общему числу наблюдений.
• Относительная частота равна частоте, делённой на число наблюдений.
• Сумма относительных частот равна 1, или 100%.
• При группировке интервалы должны охватывать все данные и не пересекаться.