41. Наглядное представление статистической информации

Определения и обозначения

Статистические данные — сведения о значениях признака, собранные при наблюдении или исследовании. Признаком может быть, например, число прочитанных книг или любимый вид спорта. Данные удобно упорядочивать, чтобы не потерять отдельные результаты и легче сравнить их. Наглядное представление помогает увидеть различия, которые трудно заметить в длинном списке.

Частота — число наблюдений, в которых признак принимает данное значение. Например, если из 30 опрошенных 12 выбрали футбол, частота ответа «футбол» равна 12. Частоты показывают, насколько часто встречаются разные значения. Их сумма равна общему числу наблюдений, поэтому по этому равенству можно проверить подсчёты.

Столбчатая диаграмма — способ сравнения данных с помощью столбцов, высота каждого из которых соответствует значению или частоте. Категории подписывают, а для высоты используют общую шкалу. Такой рисунок помогает сразу увидеть, где значение больше, меньше или совпадает с другим. Он полезен, когда нужно сравнить отдельные группы.

Круговая диаграмма показывает состав целого в виде секторов круга, размеры которых пропорциональны долям частей. Весь круг соответствует целому, то есть 100%. Чем больше доля категории, тем больше её сектор. Такое изображение нужно, чтобы оценить, как целое распределяется между составляющими.

Как это устроено

Сначала результаты наблюдений группируют по значениям признака, а затем считают, сколько раз встречается каждое значение. Полученные числа называют частотами. Такая подготовка нужна потому, что диаграмма должна показывать не хаотичный список ответов, а количество наблюдений в каждой группе. После подсчёта проверяют, что частоты в сумме дают число всех результатов.

В столбчатой диаграмме категории располагают вдоль одной оси, а числа наблюдений — вдоль другой. Каждая категория получает свой столбец, высота которого соответствует её значению. Чтобы сравнение было честным, столбцы строят в едином масштабе и размещают категории с одинаковыми промежутками. Если шаг шкалы неравномерен или у столбцов разные масштабы, зрительное впечатление может исказить разницу.

Для круговой диаграммы сначала находят долю каждой части в общем количестве. Затем эту долю переводят в угол: доля · 360° = угол сектора. Умножение на 360° связано с тем, что полный круг содержит 360°, и его части должны занимать такие же доли от полного угла, какие они составляют от целого. После вычислений проверяют, что все углы вместе дают 360°.

Диаграмму выбирают по вопросу, на который нужно ответить. Столбчатая удобна, если сравнивают отдельные значения: например, результаты учеников или число ответов в разных группах. Круговая лучше показывает, как целое разделено на части, например состав кружка по интересам. Если важно увидеть и абсолютные количества, и доли, сначала полезно определить, какую именно информацию нужно подчеркнуть.

При чтении диаграммы сначала смотрят на подписи категорий, затем на шкалу и единицы измерения. Это позволяет понять, что именно изображено и какому числу соответствует высота столбца или размер сектора. На столбчатой диаграмме значение считывают по делениям оси, а на круговой сравнивают доли или используют указанные проценты. Если подписи или масштаб неясны, точное сравнение делать нельзя.

Способы наглядного представления статистических данных

Сначала определите, нужно ли сравнить категории или показать состав целого, — это подскажет, какую строку таблицы использовать. Затем выберите способ отображения и проверьте, что данные и подписи соответствуют задаче. Для круговой диаграммы доли должны описывать одно и то же целое.

Разбор задач

Столбчатая диаграмма

В таблице указано число книг, прочитанных четырьмя учениками за месяц: 2, 4, 3, 5. Построим столбчатую диаграмму. Категории здесь — ученики, а высота столбца должна показывать число книг каждого ученика. Поэтому сначала выбираем шкалу, которая охватывает все данные.

1. По горизонтальной оси отметим четырёх учеников: Аню, Бориса, Веру и Глеба. По вертикальной оси подпишем «Число книг» и выберем деления от 0 до 6, например с шагом 1. Такая шкала подходит, потому что наибольшее значение равно 5.
2. Над каждой категорией построим столбец: для Ани высотой 2, для Бориса — 4, для Веры — 3, для Глеба — 5. Ширина столбцов должна быть одинаковой, а промежутки между ними — равными.
3. Проверим подписи и высоты по шкале. Наибольшим должен оказаться столбец Глеба, а наименьшим — Ани; это согласуется с исходными числами.

Ответ: диаграмма состоит из четырёх столбцов высотой 2, 4, 3 и 5 книг соответственно. Её вертикальная ось размечена от 0 до 6, а горизонтальная подписана именами учеников. При таком построении сразу видно, кто прочитал больше книг и как различаются результаты.

Круговая диаграмма по результатам опроса

В опросе о любимых видах спорта 12 человек выбрали футбол, 8 — плавание, 10 — баскетбол. Для круговой диаграммы нужно определить не только число ответов, но и долю каждой категории в общем результате. Всего опрошено 12 + 8 + 10 = 30 человек. Полный круг будет представлять именно эти 30 ответов.

1. Найдём доли ответов: футбол — 12/30 = 0,4; плавание — 8/30; баскетбол — 10/30 = 1/3. Их сумма равна 1, значит, учтены все ответы.
2. Переведём доли в центральные углы. Для футбола получаем 0,4 · 360° = 144°, для плавания — (8/30) · 360° = 96°, для баскетбола — (10/30) · 360° = 120°.
3. Проверим: 144° + 96° + 120° = 360°. Начертим круг и последовательно отложим секторы с найденными углами, подписав каждый видом спорта.

Ответ: сектор футбола равен 144°, плавания — 96°, баскетбола — 120°. Размер каждого сектора показывает долю соответствующих ответов в опросе. Проверка суммы углов подтверждает, что круг разделён полностью и без лишних частей.

Состав кружка

В кружке 80 человек: 40% занимаются робототехникой, 35% — шахматами, остальные — рисованием. Нужно найти число участников в каждой группе и углы секторов. Сначала определим долю рисующих: из 100% вычтем 40% и 35%. Затем отдельно переведём проценты в количества и углы.

1. Доля рисования равна 100% − 40% − 35% = 25%. Теперь известны все три доли, и в сумме они дают 100%.
2. Найдём количество участников каждой группы: робототехника — 0,40 · 80 = 32 человека; шахматы — 0,35 · 80 = 28 человек; рисование — 0,25 · 80 = 20 человек. Проверим: 32 + 28 + 20 = 80.
3. Найдём углы секторов: робототехника — 0,40 · 360° = 144°; шахматы — 0,35 · 360° = 126°; рисование — 0,25 · 360° = 90°. Сумма углов равна 360°.

Ответ: робототехникой занимаются 32 человека, шахматами — 28, рисованием — 20. Углы соответствующих секторов равны 144°, 126° и 90°. Две проверки — сумма участников и сумма углов — показывают, что вычисления согласованы с общим количеством и полным кругом.

Типичные ошибки

Разный масштаб столбцов. Иногда значения сравнивают по диаграммам, у которых разные шкалы или разный шаг делений. Так можно решить, что разница между столбцами больше или меньше, чем она есть на самом деле. Ошибка возникает, когда высоту оценивают только на глаз и не читают деления оси. Проверяйте, что шкала начинается с одного и того же значения и размечена равномерно.

Проценты принимают за градусы. Например, сектор с долей 40% нельзя строить с углом 40°: процент показывает часть целого, а не величину угла. Путаница возникает потому, что и проценты, и градусы описывают часть круга. Чтобы проверить себя, умножьте долю на 360°; для 40% это 0,4 · 360° = 144°.

Не проверяют сумму частот или долей. Из-за пропущенной группы либо ошибки при подсчёте сумма частот может не совпасть с числом наблюдений, а доли — дать не 1 или 100%. Такая проверка обнаруживает неполный список или арифметическую ошибку до построения диаграммы. Сложите частоты и отдельно сложите доли или проценты. Если сумма не соответствует целому, пересмотрите исходные данные и вычисления.

Не подписывают категории и единицы измерения. Столбец без подписи может быть непонятно с чем связан, а число без единицы не объясняет, что измерено. Это случается, когда внимание сосредоточено только на построении столбцов или секторов. Проверьте, что у осей есть названия, категории подписаны, а единицы указаны там, где они нужны. Диаграмма должна оставаться понятной без устных пояснений автора.

Связь с другими темами

Перед изучением диаграмм полезно уметь читать таблицы: в них находят значения и сопоставляют строки с категориями. Для круговых диаграмм также нужны умения находить долю от числа и переводить обыкновенные дроби в проценты. Эти навыки помогают перейти от количества наблюдений к части целого и затем выбрать правильный угол сектора.

Наглядное представление используют при изучении статистики и вероятности, а также при анализе опросов и экспериментов. Например, диаграмма помогает увидеть, какие ответы встречались чаще, и оценить состав группы. При этом графическое изображение не заменяет проверку исходных чисел: выводы должны опираться на верно собранные данные.

Что запомнить

• Частота показывает, сколько раз встретилось значение признака.
• Сумма частот равна числу всех наблюдений.
• Столбчатая диаграмма удобна для сравнения отдельных значений.
• Круговая диаграмма показывает состав целого.
• Угол сектора равен доле части, умноженной на 360°.
• Сумма углов всех секторов круговой диаграммы равна 360°.