25. Решение дробных рациональных уравнений

Определения и обозначения

Дробное рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе дроби. Например, в уравнении 1/(x − 3) = 2 неизвестная x находится в знаменателе. Такие уравнения требуют особой проверки, потому что некоторые значения переменной делают дробь неопределённой.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых все знаменатели уравнения отличны от нуля. Чтобы найти ОДЗ, приравнивают каждый знаменатель к нулю и исключают полученные значения. ОДЗ помогает заранее понять, какие числа могут быть корнями исходного уравнения.

Общий знаменатель — выражение, на которое можно умножить обе части уравнения, чтобы избавиться от дробей. Оно должно содержать множители каждого знаменателя. Умножение на общий знаменатель превращает дробное уравнение в более знакомое, но выполнять его можно с учётом ОДЗ.

Посторонний корень — найденное значение переменной, которое не удовлетворяет исходному уравнению или не входит в его ОДЗ. Такое значение может появиться после преобразований, если решать уравнение уже без проверки ограничений. Посторонний корень нужно исключить из ответа.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что делить на нуль нельзя: при нулевом знаменателе исходная дробь не определена. Для каждого знаменателя записывают условие, что он не равен нулю, и решают его. Например, если в знаменателе стоит x − 2, то x ≠ 2. Это ограничение сохраняется на всех этапах решения, даже если знаменатель позже исчезнет.

Чтобы избавиться от дробей, выбирают общий знаменатель и умножают на него обе части уравнения. Обычно в общий знаменатель включают все множители, которые встречаются в знаменателях дробей. Каждый член уравнения при умножении нужно умножить на общий знаменатель целиком. Благодаря этому знаменатели сокращаются с соответствующими множителями, а дроби исчезают.

Такое преобразование равносильно исходному уравнению только на ОДЗ. На допустимых значениях общий знаменатель не равен нулю, поэтому умножение обеих частей на него не меняет множество решений. Если не учитывать ОДЗ, можно допустить умножение на ноль или принять за решение значение, при котором исходная дробь не существует. Поэтому ограничения нужно сохранять до самого конца.

Полученное уравнение решают обычными способами: раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и переносят слагаемые через знак равенства. В зависимости от результата может получиться линейное или квадратное уравнение. Здесь важно аккуратно раскрывать скобки и не терять знаки. После решения получают кандидатов в корни исходного уравнения.

Каждый кандидат проверяют: сначала сравнивают его с ограничениями ОДЗ, затем при необходимости подставляют в исходное уравнение. Проверка нужна, потому что после избавления от знаменателей уравнение может иметь корни, запрещённые исходными условиями. Если значение обращает хотя бы один знаменатель в нуль, оно не является корнем исходного уравнения. В ответ записывают только допустимые значения.

Порядок решения дробного рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к следующему шагу, пока не выполнил предыдущий. Особенно важно записать ОДЗ до умножения на общий знаменатель. В конце в ответ включают только значения, прошедшие проверку.

Разбор задач

1. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 2.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: x − 2 ≠ 0, значит, ОДЗ — x ≠ 2.
2. Общий знаменатель здесь x − 2. Умножаем на него обе части: x + 1 = 2(x − 2).
3. Раскрываем скобки и решаем: x + 1 = 2x − 4, откуда x = 5.
4. Число 5 входит в ОДЗ. При подстановке получаем 6/3 = 2, равенство верно.

Ответ: 5.

2. Решить уравнение x/(x − 1) + 1/(x + 1) = 1.

1. Запрещённые значения получаем из знаменателей: x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0. Поэтому ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Умножаем на него все слагаемые: x(x + 1) + (x − 1) = (x − 1)(x + 1).
3. Раскрываем скобки: x² + x + x − 1 = x² − 1. После сокращения одинаковых слагаемых получаем 2x = 0, значит, x = 0.
4. Ноль не нарушает ОДЗ. Проверка: 0/(−1) + 1/1 = 1, равенство верно.

Ответ: 0.

3. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3/(x − 2).

1. Знаменатель обращается в нуль при x = 2, поэтому ОДЗ: x ≠ 2.
2. Умножаем обе части на общий знаменатель x − 2. На ОДЗ он не равен нулю, поэтому получаем равносильное уравнение x + 1 = 3.
3. Решаем: x = 2. Но это значение не входит в ОДЗ: при нём исходные знаменатели равны нулю.
4. Следовательно, полученный корень является посторонним. Проверка исходного уравнения невозможна, так как при x = 2 дроби не определены.

Ответ: корней нет.

Типичные ошибки

Не находить ОДЗ до преобразований. Тогда можно записать в ответ число, при котором исходный знаменатель равен нулю. Эту ошибку допускают, когда сразу начинают избавляться от дробей. Перед решением проверь каждый знаменатель и выпиши запрещённые значения.

Умножать на общий знаменатель только некоторые слагаемые. Так равенство меняется, потому что умножить нужно обе части целиком, а значит — каждый член уравнения. Ошибка часто возникает, если воспринимать дробь отдельно от остальных слагаемых. Для самопроверки расставь скобки вокруг каждой части и проследи, что множитель относится ко всем её членам.

Сокращать дроби через слагаемые суммы. Сокращать можно только одинаковые множители числителя и знаменателя, но не отдельные слагаемые. Например, в сумме нельзя просто убрать одинаковую букву из разных частей выражения. Разложи выражения на множители и проверь, что сокращаются именно множители.

Записывать все корни полученного уравнения без проверки. Среди них могут оказаться значения вне ОДЗ, как в уравнении, где после умножения получается x = 2, а знаменатель равен x − 2. Эту ошибку допускают, принимая преобразованное уравнение за исходное. Сверь каждый найденный корень с ограничениями и подставь допустимые значения в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения понадобятся умение находить нули линейных выражений, решать линейные и квадратные уравнения, работать с дробями и многочленами. Тема опирается на понятие ОДЗ и правила равносильных преобразований: преобразование сохраняет решения лишь при выполнении нужных условий. Те же приёмы пригодятся в старших классах при решении рациональных уравнений и неравенств.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ.
• Знаменатели исходного уравнения не должны обращаться в нуль.
• Умножай на общий знаменатель обе части уравнения.
• На ОДЗ умножение на общий знаменатель сохраняет равносильность.
• Реши уравнение, полученное после избавления от дробей.
• Проверь найденные корни по ОДЗ и в исходном уравнении.