"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Рациональное уравнение помогает описать задачу, в которой величины связаны дробями: например, скорость и время, производительность и объём работы. Чтобы решить такую задачу, нужно выбрать неизвестную, выразить через неё остальные величины и составить уравнение по условию. До преобразований находят допустимые значения неизвестной, а после решения проверяют каждый корень и отбрасывают тот, который нарушает ограничения или смысл ситуации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в дроби с многочленами в числителе или знаменателе. Такие уравнения появляются, когда в задаче одну величину делят на другую: например, расстояние — на скорость, а объём работы — на производительность. Дробная запись помогает связать величины, которые меняются вместе.
Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестной, при которых выражения уравнения имеют смысл. В частности, знаменатели дробей не должны обращаться в нуль. ОДЗ показывает, какие значения можно рассматривать при решении и проверке уравнения.
Посторонний корень — найденное значение, которое не подходит исходному уравнению или условию задачи. Оно может возникнуть, если при преобразованиях не учли ОДЗ, либо оказаться, например, отрицательным временем. Проверка помогает не включить такое значение в ответ.
Математическая модель задачи — уравнение или система соотношений, связывающие искомые величины с известными по условию задачи. Модель переводит слова в математические записи, с которыми можно выполнять вычисления. Если связи записаны верно, решение модели помогает найти ответ для исходной ситуации.
Сначала выбери неизвестную и назови её так, чтобы было понятно, какую величину она обозначает. Например, можно обозначить время одного рабочего буквой x, а время другого выразить через x, если известно, на сколько оно отличается. Проверь, что все выраженные величины соответствуют смыслу задачи: время, расстояние и скорость не должны появляться в роли друг друга. Удачный выбор неизвестной делает уравнение короче и помогает заметить ограничения.
Затем переведи условия в соотношения между величинами. В задачах на движение расстояние находят умножением скорости на время, а при встречном движении пройденные расстояния в сумме равны расстоянию между пунктами. В задачах на совместную работу производительность — это часть заказа за час, а время выполнения всего заказа отдельно равно единице, делённой на производительность. Поэтому производительности работающих вместе складываются, а не времена их работы.
Ограничения нужно определить до преобразований, потому что дробное выражение не имеет смысла при нулевом знаменателе. Запиши значения неизвестной, которые обращают каждый знаменатель в нуль, и исключи их. Добавь ограничения по условию: например, время заполнения бассейна должно быть больше времени, за которое его заполняет более быстрая труба. Это заранее отсекает заведомо невозможные значения.
Когда модель составлена, реши рациональное уравнение: приведи дроби к общему знаменателю или умножь обе части на общий знаменатель. При умножении не теряй ограничения, уже найденные по ОДЗ: общий знаменатель может быть ненулевым только для допустимых значений. После раскрытия скобок и упрощения часто получается линейное или квадратное уравнение. Его корни пока являются кандидатами на ответ, а не готовым ответом задачи.
В конце подставь каждый кандидат в исходное уравнение и проверь, не обращает ли он знаменатель в нуль. Затем сравни его со смыслом условия: отрицательная скорость или неподходящий порядок времён не описывают ситуацию. Оставшийся корень используй, чтобы найти все остальные величины, выраженные через неизвестную. Ответ запиши словами и с единицами измерения, чтобы было ясно, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор неизвестной | Обозначить искомую или удобную величину буквой. | Соответствует ли обозначение смыслу задачи? |
| Выражение остальных величин | Записать связанные величины через выбранную неизвестную. | Верны ли связи и единицы измерения? |
| Составление уравнения | Перевести условие задачи в равенство. | Отражает ли равенство все важные данные? |
| Определение ограничений | Найти запрещённые значения и учесть смысловые ограничения. | Не обращается ли знаменатель в нуль? |
| Решение уравнения | Преобразовать уравнение и найти корни. | Были ли преобразования допустимы на ОДЗ? |
| Проверка корней и запись ответа | Проверить корни в исходной задаче и записать подходящий результат. | Подходит ли значение условию и указаны ли единицы? |
Используй таблицу как маршрут: переходи к следующему этапу, когда проверка в предыдущей строке пройдена. Особенно важно не пропускать ограничения и проверку корней, даже если вычисления получились простыми. Так можно найти не только корни уравнения, но и ответ, который действительно описывает задачу.
Два рабочих выполняют заказ вместе за 6 часов. Первый один справился бы на 5 часов быстрее второго; нужно найти время каждого. Обозначим через x время второго рабочего, тогда первый справился бы за x − 5 часов. Производительность — доля заказа за час, поэтому при совместной работе производительности складываются.
Второй рабочий выполнил бы заказ за 15 часов, а первый — за 15 − 5 = 10 часов. Проверка производительности: 1/10 + 1/15 = 1/6 заказа в час. Ответ: первый — за 10 часов, второй — за 15 часов.
Между пунктами 120 км, велосипедисты выехали навстречу и встретились через 4 часа. Один ехал на 2 км/ч быстрее другого; найдём скорости. Обозначим скорость более медленного через x км/ч, тогда скорость второго равна x + 2 км/ч. Обе скорости положительны.
Ответ: скорости велосипедистов — 14 км/ч и 16 км/ч. В этой задаче уравнение получается линейным, но принцип построения модели тот же: связать скорости, время и расстояния. Проверка показывает, что найденные значения подходят условию.
Первая труба наполняет бассейн на 6 часов быстрее второй, а вместе трубы справляются за 4 часа. Обозначим через x время второй трубы; тогда первая заполнит бассейн за x − 6 часов. Значит, x > 6, а производительности труб равны 1/x и 1/(x − 6) бассейна в час.
Вторая труба наполняет бассейн за 12 часов, первая — за 12 − 6 = 6 часов. Проверка: 1/6 + 1/12 = 1/4 бассейна в час. Ответ: первая труба — за 6 часов, вторая — за 12 часов.
Если не указать, что означает неизвестная, легко перепутать, к какой величине прибавлять или из какой вычитать число. Так появляются неверные выражения для связанных величин, например время более быстрой трубы записывают как x + 6 вместо x − 6. Сразу подпиши букву словами и проверь выражения по условию: кто быстрее, у того время меньше.
Иногда забывают исключить значения, при которых знаменатель равен нулю. Их могут получить как корни после преобразований и по ошибке оставить в ответе. Чтобы проверить себя, подставь каждый корень в знаменатели исходного уравнения и заранее запиши все запрещённые значения.
Умножение на общий знаменатель проводят, не проверив, что он ненулевой. Тогда преобразование может быть недопустимым для одного из значений, а ученик потеряет ограничение или получит лишний кандидат. Перед умножением найди ОДЗ и сохраняй её до конца решения.
Частая ошибка — принять все найденные корни за ответы задачи. Например, корень может давать отрицательное время или противоречить тому, что одна величина больше другой. После решения проверь корни и по исходному уравнению, и по смыслу условия; в ответ включай только подходящие значения.
Для таких задач нужны навыки составления уравнений по тексту и решения дробных рациональных уравнений. Также нужно уметь находить значения, при которых знаменатель равен нулю: это помогает определить ОДЗ. Без этих действий можно получить вычислительно верный, но недопустимый результат.
Модель движения опирается на связь расстояния, скорости и времени: s = vt. Модель совместной работы связана с производительностью — долей выполненной работы за единицу времени. Время полной работы находят как величину, обратную производительности, поэтому для совместной работы складывают именно производительности.
Этот способ моделирования пригодится не только в задачах на движение и работу. Его применяют в задачах на смеси и в других ситуациях, где величины связаны делением или обратной зависимостью. Главное — выразить связь из условия уравнением, а затем проверить, подходит ли решение реальной ситуации.
Почему время или производительность в задачах часто записывают дробью?
Если известна скорость, время находят делением расстояния на скорость: t = s/v. Производительность показывает, какую часть работы выполняют за единицу времени, поэтому её тоже часто записывают дробью, например 1/x заказа за час.
Когда нужно находить область допустимых значений уравнения?
ОДЗ определяют до преобразований, если в уравнении есть дроби с неизвестной в знаменателях. Нужно исключить значения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю. Кроме того, учитывают ограничения, заданные смыслом задачи.
Можно ли сразу умножить обе части уравнения на знаменатели?
Можно, если сначала убедиться, что общий знаменатель не равен нулю при рассматриваемых значениях. Поэтому сперва находят ОДЗ, а уже потом умножают уравнение на общий знаменатель. Иначе преобразование может включить недопустимый корень.
Почему корень уравнения иногда не подходит к условию задачи?
Уравнение описывает математические связи, но его корни не всегда соответствуют ограничениям ситуации. Например, время или скорость не могут быть отрицательными, а знаменатель исходного уравнения не может быть нулём. Такой корень отбрасывают и объясняют почему.
Как понять, что уравнение составлено правильно?
Проверьте, выражают ли переменная и остальные величины именно то, что сказано в условии. Затем убедитесь, что уравнение связывает нужные величины: например, сумма расстояний равна общему расстоянию, а сумма производительностей даёт общую производительность. Наконец, подстановка найденных значений должна подтверждать условие задачи.
26. Решение задач с помощью рациональных уравнений
